不相邻数组元素的最大可能总和不超过K

介绍

在计算机编程中，常常会对数组中的元素进行求和操作。同时，为了防止数组中出现重复元素的情况，还要考虑不相邻数组元素的问题。本文将介绍如何计算不相邻数组元素的最大可能总和，并且保证求和结果不超过给定的阈值K。

解决方法

我们可以采用动态规划的方法来解决这个问题。具体来说，假设数组为A，第i个元素为A[i]，前i个元素的最大和为dp[i]，并且假设不选第i个元素的情况下的最大结果为exclude[i]。

则可以得到动态规划的状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-1], exclude[i-1] + A[i])

exclude[i] = max(dp[i-1], exclude[i-1])

其中，第i个元素有两种情况：选或不选。如果选，则不能选相邻的元素A[i-1]。因此，dp[i]的值由不选第i个元素的值（即dp[i-1]）和选第i个元素的值（即exclude[i-1] + A[i]）取较大值得到。

同时，exclude[i]也有两种情况：不选第i个元素（即exclude[i-1]）或者选第i个元素（但是此时必须不选前一个元素，即dp[i-1]）。因此，exclude[i]的值由这两种情况取较大值得到。

最终的结果即为dp[n]（n为数组长度），如果dp[n]不超过给定阈值K，则说明最大可能总和不超过K。否则，无解。

代码实现如下：

int n;
int A[MAX_N], dp[MAX_N], exclude[MAX_N];

int solve(int K) {
    dp[0] = 0;
    exclude[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = max(dp[i-1], exclude[i-1] + A[i]);
        exclude[i] = max(dp[i-1], exclude[i-1]);
    }
    return dp[n] <= K ? dp[n] : -1;
}

总结

本文介绍了如何计算不相邻数组元素的最大可能总和，并且保证求和结果不超过给定的阈值K。采用动态规划的方法，我们可以求得最大和，并且时间复杂度为O(n)。

代码实现较为简单，但是需要注意数组下标的边界问题。另外，如果仅需要判断是否有解而不需要最大和的值，可以直接提前判断dp[n]是否不超过K，从而节省计算时间。

参考资料

• 《算法竞赛入门经典（第2版）》- 刘汝佳
• 不相邻数组元素问题的动态规划算法