可以添加到 DAG 以使其保持 DAG 的最大边数

在计算机科学中，有向无环图（DAG）是一种图形结构，其中一些元素称为“节点”或“顶点”，而另一些元素称为“边缘”。 在 DAG 中，如果存在从节点 A 到节点 B 的路径，则该路径称为“有向边”，通常用箭头表示。 如果从节点 A 可以到达节点 B，则 A 被称为 B 的“祖先”并且 B 被称为 A 的“后代” 。 DAG 最大边数是 n(n-1)/2，其中 n 是节点个数。

在实际开发中，我们经常需要操作 DAG，并且要使 DAG 保持其最大边数，就需要添加新的节点和边缘。以下是一些常用的向 DAG 中添加节点和边缘的方法，这些方法可以帮助您保持 DAG 的最大边数。

1. 拓扑排序

拓扑排序是 DAG 中节点之间的线性排序，使得对于每一条有向边 (u, v)，u 在排序中都在 v 的前面。 在拓扑排序中，我们可以通过在 DAG 中添加新的节点，然后重新对节点进行拓扑排序来保持 DAG 的最大边数。

def add_vertex(graph, vertex):
    if vertex not in graph:
        graph[vertex] = set()

def add_edge(graph, edge):
    vertex1, vertex2 = edge
    add_vertex(graph, vertex1)
    add_vertex(graph, vertex2)
    graph[vertex1].add(vertex2)

def topological_sort(graph):
    in_degree = {node: 0 for node in graph}
    for node in graph:
        for neighbor in graph[node]:
            in_degree[neighbor] += 1
    queue = [node for node in graph if in_degree[node] == 0]
    result = []
    while queue:
        node = queue.pop()
        result.append(node)
        for neighbor in graph[node]:
            in_degree[neighbor] -= 1
            if in_degree[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)
    return result

graph = {'A': set(['B', 'C']), 'B': set(['D']), 'C': set(['D']), 'D': set([])}
add_vertex(graph, 'E')
add_edge(graph, ('B', 'E'))
add_edge(graph, ('D', 'E'))
print(topological_sort(graph))

以上代码可以在 DAG 中添加新的节点 E 并且添加新的边缘 (B, E) 和 (D, E)，然后重新拓扑排序，以保持 DAG 的最大边数。

2. DAG 最长路径

在 DAG 中，最长路径是 DAG 中起始节点到终止节点的所有路径中最长的一条。 我们可以使用 DAG 最长路径算法来添加新的节点和边缘，以保持 DAG 的最大边数。

from collections import defaultdict

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.graph = defaultdict(list)
        self.vertices = vertices

    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append((v, w))

    def topological_sort(self):
        visited = [False] * self.vertices
        stack = []
        for i in range(self.vertices):
            if not visited[i]:
                self.topological_sort_util(i, visited, stack)
        return stack[::-1]

    def topological_sort_util(self, vertex, visited, stack):
        visited[vertex] = True
        for neighbor, weight in self.graph[vertex]:
            if not visited[neighbor]:
                self.topological_sort_util(neighbor, visited, stack)
        stack.append(vertex)

    def longest_path(self, source):
        dist = [float("-inf")] * self.vertices
        dist[source] = 0
        stack = self.topological_sort()
        while stack:
            vertex = stack.pop()
            if dist[vertex] != float("-inf"):
                for neighbor, weight in self.graph[vertex]:
                    new_distance = dist[vertex] + weight
                    if new_distance > dist[neighbor]:
                        dist[neighbor] = new_distance
        return dist

g = Graph(4)
g.add_edge(0, 1, 5)
g.add_edge(0, 2, 3)
g.add_edge(1, 3, 6)
g.add_edge(2, 3, 2)
g.add_edge(2, 1, 2)
print(g.longest_path(0))

以上代码可以在 DAG 中添加新的节点和边缘，并且使用 DAG 最长路径算法来计算最长路径，以保持 DAG 的最大边数。

结论

在实际开发中，我们经常需要操作 DAG，并且要使 DAG 保持其最大边数，可以使用上述常用的方法来添加新的节点和边缘。 以上代码示例仅供参考，在实际生产环境中可能需要更复杂的算法和数据结构来处理 DAG 中的节点和边缘。