门| Sudo GATE 2020 Mock I（2019 年 12 月 27 日）|第 51 题

题目描述

给定一个由 $n$ 个门组成的房间布局，第 $i$ 个门可以打开一个区间 $[a_i, b_i]$，并通过此门去往另一个区间 $[c_i, d_i]$。一个人会从区间 $[1,1]$ 出发，问是否能够到达区间 $[n,n]$。

函数签名

def is_possible_to_reach_destination(n: int, a: List[int], b: List[int], c: List[int], d: List[int]) -> bool:
    pass

输入

• $n$：整数，表示门的数量 $(1 \leq n \leq 10^5)$。
• $a_i$：整数列表，表示第 $i$ 个门可以打开的区间左端点 $(1 \leq a_i \leq n, 1 \leq i \leq n)$。
• $b_i$：整数列表，表示第 $i$ 个门可以打开的区间右端点 $(1 \leq b_i \leq n, 1 \leq i \leq n)$。
• $c_i$：整数列表，表示第 $i$ 个门可以到达的区间左端点 $(1 \leq c_i \leq n, 1 \leq i \leq n)$。
• $d_i$：整数列表，表示第 $i$ 个门可以到达的区间右端点 $(1 \leq d_i \leq n, 1 \leq i \leq n)$。

输出

• 返回布尔值，表示能否到达区间 $[n,n]$。

示例

assert is_possible_to_reach_destination(3, [1, 2, 2], [2, 3, 3], [2, 2, 3], [3, 3, 3]) == True
assert is_possible_to_reach_destination(3, [1, 2, 2], [2, 3, 3], [2, 2, 3], [3, 3, 3]) == True
assert is_possible_to_reach_destination(3, [1, 1, 1], [1, 1, 1], [2, 2, 2], [2, 2, 2]) == False

解题思路

本题需要检查是否存在一条从 $(1,1)$ 到 $(n,n)$ 的有效路径，我们可以使用图的遍历来解决此问题。

首先，我们需要将所有门的关系抽象成一个图。对于每个门，我们可以通过转换成一个顶点，并且表示区间可以连接到其他区间的一条有向边。这样就可以将所有区间抽象成一个有向图。

接下来，我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）寻找是否存在有效路径。我们可以从 $(1,1)$ 开始，每次访问当前节点所连接的所有区间，判断是否存在一条从当前区间到达 $(n,n)$ 区间的有效路径。

值得注意的是，由于每个区间都可能有多个门，因此需要将所有门的信息全部加入到整个图中。

参考代码

from typing import List

def is_possible_to_reach_destination(n: int, a: List[int], b: List[int], c: List[int], d: List[int]) -> bool:
    # 将所有节点和它们所连接的区间信息存储在邻接表中
    adjacency_list = [[] for _ in range(n+1)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if c[i] <= j+1 <= d[i] and a[j] <= i+1 <= b[j]:
                # 当前门连接着顶点 i+1 和顶点 j+1
                adjacency_list[i+1].append(j+1)
    
    # DFS 遍历整张图
    def dfs(curr: int, visited: List) -> bool:
        visited.append(curr)
        if curr == n:
            return True
        for v in adjacency_list[curr]:
            if v not in visited:
                if dfs(v, visited):
                    return True
        return False
    
    return dfs(1, [])

时间复杂度：$O(n^2)$，空间复杂度：$O(n)$。