门 | Sudo GATE 2020 Mock I(2019年12月27日)|问题2

题目描述

给定一个二维数组，其中非负整数表示每个点的高度。从网格左上角开始，每一步可以向右或向下移动。求到达网格右下角的最小路径和。

示例

输入：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出：7 解释：左上角的点为1，即最小路径为1+3+1+1+1=7。

解题思路

该问题可以使用动态规划求解。首先，我们需要明确每次只能向右或向下移动，因此对于每个点，它只会从上方或左侧的点走过来。因此，我们可以通过递推来得到最小路径和。

具体而言，对于矩阵中的每个点，我们可以记录到达该点的最小路径和。那么，对于最上侧和最左侧的点，它们只能从起点出发向右/向下移动到达，因此它们到达的路径和即为数组中对应数值的和。对于其他位置的点，它们既可以从上方移动下来，也可以从左侧移动过来，因此它们可以由上方或左侧的点递推而来。具体而言，假设当前矩阵位置为$(i,j)$，则可以递推得到：

$$dp(i,j) = \min{dp(i-1,j),dp(i,j-1)} + grid(i,j)$$

其中 $dp(i,j)$ 表示到达矩阵位置$(i,j)$的最小路径和，可以由其上方位置 $(i-1,j)$ 和左侧位置 $(i,j-1)$ 的最小路径和递推而来，两者取较小值再加上该点的值即为 $dp(i,j) $ 的值。

最后，到达矩阵右下角的最小路径和即为 $dp(m-1,n-1)$。其中 $(m,n)$ 分别为矩阵的长和宽。

代码实现

def minPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    # 初始化最小路径和矩阵
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    # 对于左上角的矩阵位置，到达其的最小路径和即为该位置的值
    dp[0][0] = grid[0][0]
    # 初始化最上侧和最左侧的路径和
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
    # 递推得出每个位置的最小路径和
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
    # 返回最后一个位置的最小路径和
    return dp[-1][-1]

时间复杂度：$O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的长和宽。

空间复杂度：$O(mn)$，需要维护一个大小与原矩阵相同的的最小路径和矩阵。