减法和征服递归的主定理

主定理用于确定具有递归即可以分解为子问题的函数的Big-O上限。
减法和征服递归的主定理：
令T(n)是在正n上定义的函数，如下所示：

对于某些常数c，a> 0，b> 0，k> = 0和函数f(n)。如果f(n)为O(n ^k )，则

1.如果a <1，则T(n)= O(n ^k )
2.如果a = 1，则T(n)= O(n ^{k + 1} )
3.如果a> 1，则T(n)= O(n ^k a ^{n / b} )

上面定理的证明(用替代方法) ：

从上面的函数，我们有：
T(n)= aT(nb)+ f(n)
T(nb)= aT(n-2b)+ f(nb)
T(n-2b)= aT(n-3b)+ f(n-2b)

现在，
T(nb)= a ² T(n-3b)+ af(n-2b)+ f(nb)
T(n)= a ³ T(n-3b)+ ² f(n-2b)+ af(nb)+ f(n)
T(n)= Σi ^{= 0至n} a ⁱ f(n-ib)+常数，其中f(n-ib)为O(n-ib)
T(N)= ^{O(NķΣi = 0到N / B} A ^I)

在哪里，
如果a <1，则Σi ^{= 0至n / b} a ⁱ = O(1)，T(n)= O(n ^k )

如果a = 1则Σi ^{= 0至n / b} a ⁱ = O(n)，T(n)= O(n ^{k + 1} )

如果a> 1，则Σi ^{= 0至n / b} a ⁱ = O(a ^{n / b} )，T(n)= O(n ^k a ^{n / b} )

考虑以下程序的第n个斐波那契数：

C++

#include
int fib(int n)
{
   if (n <= 1)
      return n;
   return fib(n-1) + fib(n-2);
}
   
int main ()
{
  int n = 9;
  printf("%d", fib(n));
  getchar();
  return 0;
}

Python3

# Python3 code for the above approach
def fib(n): 
    if (n <= 1): 
        return n 
    return fib(n - 1) + fib(n - 2) 
  
# Driver code
n = 9
print(fib(n))
  
# This code is contributed
# by sahishelangia

Java

//Java code for above the approach. 
class clg 
{
 static int fib(int n)
{
if (n <= 1)
    return n;
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
// Driver Code
public static void main (String[] args)
{
int n = 9;
System.out.println( fib(n));
}
}
// This code is contributed by Mukul Singh.

C#

// C# code for above the approach.
using System;
      
class GFG 
{
    static int fib(int n)
    {
        if (n <= 1)
            return n;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
      
    // Driver Code
    public static void Main(String[] args)
    {
        int n = 9;
        Console.WriteLine(fib(n));
    }
}
  
// This code has been contributed 
// by Rajput-Ji

输出

34

时间复杂度分析：
递归函数可以定义为T(n)= T(n-1)+ T(n-2)

• 对于最坏的情况，让T(n-1)＆ap; T(n-2)
  T(n)= 2T(n-1)+ c
  其中，f(n)= O(1)
  ∴k = 0，a = 2，b = 1;

  T(n)= O(n ⁰ 2 ^{n / 1} )
  = O(2 ⁿ )

• 对于最佳情况，让T(n-2)＆ap; T(n-1)
  T(n)= 2T(n-2)+ c
  其中，f(n)= O(1)
  ∴k ＝ 0，a ＝ 2，b ＝ 2；

T(n)= O(n ⁰ 2 ^{n / 2} )
= O(2 ^{n / 2} )

更多示例：

• 示例1 ：
  T(n)= 3T(n-1)，n> 0
  = c，n <= 0

  Sol：a = 3，b = 1，f(n)= 0，所以k = 0；

  由于a> 0，因此T(n)= O(n ^k a ^{n / b} )
  T(n)= O(n ⁰ 3 ^{n / 1} )
  T(n)= 3 ⁿ

• 示例2 ：
  如果n> = 2，则T(n)= T(n-1)+ n(n-1)
  = 1，如果n = 1

  Sol：a = 1，b = 1，f(n)= n(n-1)所以k = 2;

  由于a = 1，因此T(n)= O(n ^{k + 1} )
  T(n)= O(n ^{2 + 1} )
  T(n)= O(n ³ )

• 示例3 ：
  T(n)= 2T(n-1)– 1，如果n> 0
  = 1，如果n <= 0

  索尔：使用上述方法无法解决此重复问题
  因为函数的形式不是T(n)= aT(nb)+ f(n)