减法和征服递归的主定理

简介

在算法设计与分析领域，减法和征服递归的主定理（Subtraction and Conquer Recursion Master Theorem）是一种估算递归算法复杂度的方法。它是计算机科学家 Jon Bentley 在《Programming Pearls》一书中提出的。

该方法通过将递归问题转化为递归式求解，从而得到递归算法的复杂度。

具体方法

在应用减法和征服递归的主定理时，需要将递归算法转换为递归式。

递归式是关于问题规模的函数，它描述了将原问题分解为若干规模较小的子问题所需的操作数。

通常情况下，递归式可以表示为：

$T(n)=aT(\frac{n}{b}) + f(n)$

其中，$T(n)$ 是规模为 $n$ 的问题的解所需的时间，$a$ 是分解子问题的个数，$b$ 是子问题的规模相对于原问题规模的比例，$f(n)$ 是解决分解问题所需的时间。

在使用减法和征服递归的主定理时，需要确定 $a$、$b$ 和 $f(n)$ 的值，然后计算递归式的时间复杂度。

主定理有三种情况：

情况 1

当 $f(n) = O(n^{log_ba-\epsilon})$，其中 $\epsilon > 0$ 时，递归算法的时间复杂度为 $O(n^{log_ba})$。

例如，对于归并排序算法，$a = 2$，$b = 2$，$f(n) = \Theta(n)$，因此归并排序的时间复杂度为 $T(n)=2T(\frac{n}{2}) + \Theta(n)$，应用主定理可以得到算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

情况 2

当 $f(n) = \Theta(n^{log_ba})$ 时，递归算法的时间复杂度为 $O(n^{log_ba}logn)$。

例如，对于快速排序算法，$a = 2$，$b = 2$，$f(n) = \Theta(n)$，因此快速排序的时间复杂度为 $T(n)=2T(\frac{n}{2}) + \Theta(n)$，应用主定理可以得到算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

情况 3

当 $f(n) = \Omega(n^{log_ba+\epsilon})$，其中 $\epsilon > 0$ 且 $af(\frac{n}{b}) \leq cf(n)$，其中 $c < 1$ 时，递归算法的时间复杂度为 $O(f(n))$。

这种情况下，子问题的处理时间占据了主导地位，因此递归算法的时间复杂度由此确定。

总结

减法和征服递归的主定理是一种方便而有效的估算递归算法复杂度的方法。通过将递归问题转化为递归式，并根据递归式的特点选择不同的情况，可以快速地计算递归算法的时间复杂度。