使任何间隔等于给定 Set 的并集所需的最小移除

在计算机科学中，有时需要找出一些元素的并集，但是需要移除一些元素，使得任何两个相邻元素之间的间隔等于给定的数值。这个问题可以用动态规划算法来解决。

动态规划算法

动态规划算法在解决一些复杂的问题时很有用，它将问题分解成若干个子问题，然后解决每个子问题，并将子问题的解组合成最终的解。在本问题中，我们可以使用动态规划算法来找到最小移除的数量。

状态定义

我们可以用一个数组 $dp$ 来存储最小移除的数量。具体来说，$dp_i$ 表示从集合起始位置到第 $i$ 个元素（包括第 $i$ 个元素），需要移除的最小元素数量。

状态转移方程

我们可以使用递推的方式来计算 $dp_i$。具体来说，我们考虑第 $i$ 个元素与前面的元素之间的间隔，如果这个间隔等于给定的数值，则 $dp_i$ 不需要增加。否则，我们需要将第 $i$ 个元素移除，或者将某个之前的元素移除。我们需要选择一个方案，使得移除的元素数量最小。我们可以同时更新状态 $dp_i$ 和前面的状态。

状态转移方程如下：

$$ dp_i=\min(dp_j+(i-j-1-k)^2) $$

其中，$k$ 表示要求的元素间隔，$j<i$，且 $j$ 与 $i$ 之间的距离大于等于 $k$。

初始状态

我们需要将初始状态设置为 $dp_0=0$。

最终结果

最终结果就是 $dp_n$，其中 $n$ 表示集合中元素的数量。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的代码：

def min_remove(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + 1
        for j in range(i - 1, 0, -1):
            if i - j - 1 < k:
                break
            if nums[i - 1] - nums[j - 1] == (i - j) * k:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + i - j - 1 - k)
    return dp[n]

参考文献

• LeetCode 1838. Frequency of the Most Frequent Element
• LintCode 1843. Smallest distance