如何将字符串插入 AVL 树

AVL 树是一种自平衡二叉搜索树 (BST)，其中所有节点的左右子树的高度差不能超过一个。

例子：

上面的树是 AVL，因为每个节点的左右子树的高度之间的差异小于或等于1 。下面是不是 AVL 树的示例：

上面的树不是 AVL，因为 8 和 12 的左右子树的高度差大于 1。它可以定义为一种二叉搜索树，其所有节点的平衡因子为 -1 、0 或 1。

什么是平衡因子：它是两个子树之间的高度差。 （平衡因子：左子树高度 - 右子树高度）

在 AVL 树中插入字符串：

下面的示例演示在顺序中插入星期几： {Tuesday, Monday, Thursday, Saturday, Sunday, Friday, Wednesday}

方法：

• 如果节点为空（ NULL ），则使用给定的第一个值创建节点。
• 如果新节点小于前一个节点，则在左侧插入新节点
• 如果新节点大于前一个节点，则在右侧插入新节点

检查树是否平衡：

• 如果平衡因子大于1 ，那么它可以是：
  • Left-Left Case（然后需要单次旋转以使其平衡）。
  • 或左右大小写（需要双旋转）。
• 如果平衡因子小于 -1，那么它可以是：
  • Right-Right Case（需要单次旋转）。
  • 或左右大小写（需要双旋转）

应重复此过程以插入所有剩余节点。

要记住的要点：

• 相应地插入节点：为了确保给定的树在每次插入后保持 AVL，增加标准 BST 插入操作以执行一些重新平衡。以下是可以在不违反 BST 属性的情况下重新平衡 BST 的两个基本操作(keys(left) < key(root) < keys(right)) 。
• 检查平衡因子：平衡因子应始终为 -1、0、1，如果不是，则需要相应地旋转树。

创建 AVL 树的步骤：

• 所以根据给定的顺序，让我们插入Tuesday ，因为它没有节点，所以它的平衡因子为0 。

• 下一步是将星期一插入星期二的左侧，因为它按字母顺序较小(M < T) 。在插入新节点之前，需要检查每个节点的平衡因子。这棵树是平衡的，因为星期二是平衡的，因为它的左侧有一个子树：

Balance Factor = height of the left subtree – the height of right subtree = 1 – 0 = 1

因此，树是平衡的。由于平衡因子 0，星期一也是平衡的。

• 接下来，插入Thursday 。它插入到星期二的左侧（如 Th < Tu） ，并插入到星期一的右侧（如 T>M） 。现在如果检查平衡因子，可以看出星期二的平衡因子是2所以它是不平衡的，所以需要旋转树使其平衡。

Note: In case if we don’t remember the rules of rotation of AVL tree, still it can be balanced we just need to remember that: Left node < Root < Right node.

Example:

   5                        4
  /                       /   \
 3     —–>      3       5
  \
   4

• 之后，在星期四的左侧(S < T)和星期一的右侧(M < S)插入星期六。
• 星期日插入到星期六(Sa < Su)的右侧。现在树是不平衡的，所以它被旋转以使其再次平衡。

• 按照同样的规则插入星期五，星期四的平衡因子变为 2，因此再次进行轮换。

• 旋转后，现在将最后一个节点星期三插入到星期二的右侧（如 T

如果检查 AVL 树，则现在整个 AVL 树是高度平衡的，因为所有节点的平衡因子为-1 , 0 , 1 。