Karp 的最小均值权重循环算法

Karp 的最小均值(或平均)权重循环算法是一种求解最小平均环(Minimum Mean Cycle 或者 Minimum Average Cycle)的贪心算法。该算法的主要思想是在带权有向图中进行多次松弛操作，得到最小平均环。

算法步骤

• 初始化每个节点的距离为正无穷，源节点的距离为0。
• 对任意一条边(u, v)，将距离数组d[v]更新为d[u] + w(u, v)，其中w(u, v)表示(u, v)的权重。
• 重复进行第二步操作，直到距离数组不再变化。
• 对每一条边(u, v)，计算其平均权重d[u] + w(u, v) / 2，找到其中最小值，并对应的边就是最小平均环。

代码实现

以下是该算法的代码实现，在实现过程中参考了C++代码。

import sys


class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = []

    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph.append((u, v, w))


def min_avg_weight_cycle(graph):
    V = graph.V
    dist = [float("inf")] * V
    dist[0] = 0

    for i in range(V - 1):
        for u, v, w in graph.graph:
            if dist[u] != float("inf") and dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w

    for u, v, w in graph.graph:
        if dist[u] != float("inf") and dist[u] + w < dist[v]:
            return (True, dist[u] + w / 2)

    return (False, sys.float_info.max)


if __name__ == "__main__":
    V = 4  # 节点数
    g = Graph(V)
    g.add_edge(0, 1, 4)
    g.add_edge(0, 2, 2)
    g.add_edge(1, 2, 3)
    g.add_edge(2, 3, 1)
    g.add_edge(3, 1, -4)
    has_cycle, cycle_weight = min_avg_weight_cycle(g)
    if has_cycle:
        print(f"The minimum average weight cycle: {cycle_weight}")
    else:
        print("The graph doesn't contain a cycle")

时间复杂度

该算法在最坏情况下需要遍历所有边，因此时间复杂度为$O(V * E)$。其中V为节点数，E为边数。

总结

Karp 的最小均值权重循环算法是一种求解最小平均环的贪心算法，通过多次松弛操作得到最小平均环。在实际应用中，该算法可以用于基于网络的故障检测、寻找明显偏离正常行为的少量数据等方面。