求最小生成树的权重

最小生成树 (minimum spanning tree, MST) 问题是指找到一棵无向图中生成树，使得所有边的权值之和最小。在实际应用中，最小生成树经常用于解决连通问题，如网络布线、建筑设计等。

有多种算法可以求解最小生成树问题，例如 Prim 算法和 Kruskal 算法。下面分别介绍这两种算法的原理和实现。

Prim 算法

在 Prim 算法中，我们从一个点开始，不断将与该点相邻的边加入生成树，直到所有节点都被加入或者没有更多的边可以加入。选择加入的边是当前所有相邻边中最小的。因此，Prim 算法可以认为是一种贪心算法。

算法可以用一个优先队列来辅助实现，用来保存当前所有可选边中最小的一条。具体实现细节和代码可以参考下面的模板：

import heapq

def prim(graph):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    pq = [(0, 0)]  # (weight, node)
    mst_weight = 0

    while pq:
        weight, u = heapq.heappop(pq)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        mst_weight += weight
        for v, w in graph[u]:
            heapq.heappush(pq, (w, v))

    return mst_weight

其中 graph 是一个邻接表，表示无向图中的边。每个元素形如 (v, w)，表示一条从当前节点到节点 v 权重为 w 的边。

Kruskal 算法

在 Kruskal 算法中，我们将所有边按照权重从小到大排序，然后依次加入生成树。如果加入一条边会形成环，则该边被舍弃。具体实现细节和代码可以参考下面的模板：

def kruskal(graph):
    n = len(graph)
    parent = list(range(n))
    size = [1] * n
    edges = []
    mst_weight = 0

    def find(x):
        while x != parent[x]:
            parent[x] = parent[parent[x]]
            x = parent[x]
        return x

    def union(x, y):
        px, py = find(x), find(y)
        if px == py:
            return False
        if size[px] < size[py]:
            px, py = py, px
        parent[py] = px
        size[px] += size[py]
        return True

    for u in range(n):
        for v, w in graph[u]:
            edges.append((w, u, v))
    edges.sort()

    for w, u, v in edges:
        if union(u, v):
            mst_weight += w

    return mst_weight

其中 graph 的格式同上。

总结

Prim 算法和 Kruskal 算法都可以求解最小生成树问题，具体选择哪种算法要根据实际应用场景和图的特点来决定。同时，还有其他一些算法可以求解最小生成树，例如 Boruvka 算法、Reverse-Delete 算法等，读者可以自行了解。