在无向图中找到最小权重循环

在图论中，一个循环是指一个边序列，它是从一个定点开始，沿着一系列相邻的边到达该点的路径，并且不经过该点的其他边。在无向图中，循环的权重被定义为该循环中所有边的权重之和。

本文将介绍如何在无向图中找到最小权重循环。我们将学习两种算法：Floyd算法和Johnson算法。

Floyd算法

Floyd算法是一种解决最短路径问题的动态规划算法。该算法使用一个二维数组来存储从一个点到另一个点的最短路径长度。该算法的基本思想是：先找出只使用0号结点作为中转站，从i到j的最短路径；然后找出只使用0号和1号结点作为中转站的从i到j的最短路径；接着，找出只使用0号、1号、2号结点作为中转站的从i到j的最短路径……最后找出使用所有结点作为中转站的从i到j的最短路径。

我们可以通过 Floyd 算法在一个无向图中找到最小权重循环。其基本思想是：对于每一条边 e(i,j)，假设存在一条最短路径从 i 到 j，我们可以通过插入 e(i,j) 的一条反向边来形成一个循环。然后我们可以应用 Floyd 算法，找到每一对结点之间的最短距离，并在其中寻找最小权重循环。

算法的时间复杂度是 O(V^3)，其中 V 是结点数。

以下是基于 Floyd 算法的代码片段：

def find_min_cycle(graph):
    n = len(graph)
    dist = [[float('inf')]*n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                dist[i][j] = 0
            elif graph[i][j]:
                dist[i][j] = graph[i][j]
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k]+dist[k][j])
    min_cycle = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if graph[i][j] and dist[i][j]+graph[j][i]<min_cycle:
                min_cycle = dist[i][j]+graph[j][i]
    return min_cycle

Johnson算法

Johnson 算法是一种在稠密图中求最短路径的高效算法。与 Floyd 算法不同，Johnson 算法使用 Bellman-Ford 算法来解决负权重边的问题，然后使用 Dijkstra 算法来实现从一个源结点到其他结点的最短路径问题。

Johnson 算法的基本思想是：首先使用 Bellman-Ford 算法对图中每个结点求出一对数组 p 和 h，其中 p(i) 是从源结点到 i 结点的最短路径，而 h(i) 是 p(i) 的边权之和。然后，通过对所有边的权重进行调整，可以计算出一个新的没有负边权的图，称为 G'。对于图 G'，我们可以使用 Dijkstra 算法来计算每一对结点之间的最短路径。

通过找到 G' 的最小权重循环，我们可以找到原始图中的最小权重循环。算法的时间复杂度是 O(V^2log(V)),其中 V 是结点数。

以下是基于 Johnson 算法的代码片段:

def bell_ford(graph, source):
    n = len(graph)
    dist = [float('inf')] * n
    dist[source] = 0
    for _ in range(n-1):
        for i in range(n):
            for j, w in graph[i]:
                if dist[i] != float('inf') and dist[j] > dist[i] + w:
                    dist[j] = dist[i] + w
    return dist
def find_min_cycle(graph):
    n = len(graph)
    new_graph = [[] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j, w in graph[i]:
            new_graph[i].append((j, w-bell_ford(graph, i)[j]+bell_ford(graph, 0)[i]))
    min_cycle = float('inf')
    for i in range(n):
        dist = [float('inf')] * n
        dist[i] = 0
        visited = [False] * n
        queue = []
        queue.append(i)
        while queue:
            u = queue.pop(0)
            visited[u] = False
            for v, w in new_graph[u]:
                if dist[v] > dist[u] + w:
                    dist[v] = dist[u] + w
                    if not visited[v]:
                        visited[v] = True
                        queue.append(v)
                    if v == i and dist[v] < min_cycle:
                        min_cycle = dist[v]
    return min_cycle

以上就是在无向图中寻找最小权重循环的两种算法。我们可以使用这些算法来解决相关问题，如优化旅行路线等。