给定数组中所有有序对积的总和

在程序中，我们经常需要对给定数组进行一些操作，例如求和、排序、查找等等。这里要介绍的是给定数组中所有有序对积的总和。

假设给定一个长度为n的数组a，那么有序对的定义如下：

a[i]和a[j]是一个有序对，当且仅当i<j且a[i]<a[j]。

例如，数组[2,4,1,3,5]中，有序对有(2,4),(2,5),(4,5),(1,3),(1,5),(3,5)，他们的积分别为8,10,20,3,15,15，因此答案是71。

接下来，介绍两种不同的解法。

方法一：暴力枚举

最朴素的解法就是枚举所有的有序对，并累加它们的积。该算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

def pairs_product(a):
    n = len(a)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if a[i] < a[j]:
                res += a[i] * a[j]
    return res

方法二：归并排序

方法一的时间复杂度过高，无法处理大规模的数组。但观察到有序对的定义中包含了数组元素间的大小关系，因此我们可以考虑运用归并排序的思想，在排序过程中计算有序对的总数。

具体来说，我们首先将数组按照升序排序，然后在归并排序的合并过程中计算有序对的数量。假设左半边的数组为a[l:m]，右半边的数组为a[m+1:r]，则有序对的数量有以下三种情况：

1、左半边的元素a[i]小于右半边的元素a[j]，则它和右半边剩下的元素都可以构成有序对。

2、左半边的元素a[i]大于等于右半边的元素a[j]，则它和右半边的下一个元素a[j+1]及其后面的元素都可以构成有序对。

3、合并后的左右两半数组中仍有剩余元素未处理，将它们直接拼接在数组末尾即可。

def merge_sort(array, left, right):
    if left >= right:
        return 0
    mid = (left + right) // 2
    count = merge_sort(array, left, mid) + merge_sort(array, mid+1, right)  # 递归处理左右两半
    i, j = left, mid+1
    temp = []
    while i <= mid and j <= right:
        if array[i] < array[j]:
            temp.append(array[i])
            count += (right-j+1)  # 右半边有j-right个元素与当前的a[i]构成有序对
            i += 1
        else:
            temp.append(array[j])
            j += 1
    temp += array[i:mid+1] if i <= mid else array[j:right+1]  # 拼接剩余元素
    array[left:right+1] = temp  # 更新array
    return count

def pairs_product(a):
    merge_sort(a, 0, len(a)-1)
    res = 0
    for i in range(1, len(a)):
        res += a[i-1] * a[i]
    return res

方法二的时间复杂度为$O(nlogn)$，远远优于方法一的$O(n^2)$。

总结：对于给定数组中所有有序对积的总和的问题，可使用暴力枚举和归并排序两种方法求解，其中，归并排序的时间复杂度更优，可以处理较大规模的数组。