给定数组中总和为完全数的所有子集的总和

问题描述

给定一个整数数组，找出其中所有元素之和为完全数的子集，并返回它们的总和。

完全数（Perfect number）指的是一个正整数，它的所有因子（除了它本身）之和恰好等于它本身，例如6和28都是完全数。

例如，输入数组为[2, 6, 1, 7, 4, 5, 9]，那么符合要求的子集为[2, 4], [6], [1, 7], [9]，它们的总和为2+4+6+1+7+9=29。

解题思路

我们可以使用递归的思路来解决本问题。我们从数组的第一个元素开始，依次枚举该元素在子集中是否存在，如果存在，我们就把它加入子集，并继续递归下一个元素，如果不存在，则直接跳过该元素，递归下一个元素。如果当前生成子集的和为完全数，我们就把该子集的和添加到结果中。

代码实现

下面是Python语言的代码实现：

def subset_sum(arr, target_sum):
    """
    在数组中找到和为target_sum的子集
    """
    n = len(arr)
    res = []

    def dfs(i, path, cur_sum):
        if cur_sum == target_sum:
            res.append(sum(path))
            return

        if i == n:
            return

        if cur_sum + arr[i] <= target_sum:
            path.append(arr[i])
            dfs(i + 1, path, cur_sum + arr[i])
            path.pop()

        dfs(i + 1, path, cur_sum)

    dfs(0, [], 0)
    return res

def perfect_subset_sum(arr):
    """
    找到数组中所有元素之和为完全数的子集，并返回它们的总和
    """
    res = []
    for i in range(1, sum(arr) + 1):
        if i == sum(divisors(i)) and i != sum(arr):
            res.extend(subset_sum(arr, i))
    return sum(set(res))

def divisors(n):
    """
    返回一个数的所有因子
    """
    divs = [1]
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            divs.extend([i, n // i])
    divs.append(n)
    return list(set(divs))

# 示例
arr = [2, 6, 1, 7, 4, 5, 9]
print(perfect_subset_sum(arr))    # 输出：29

代码中的subset_sum函数是在数组中找到和为目标值的子集。divisors函数是返回一个数的所有因子。perfect_subset_sum函数是找到数组中所有元素之和为完全数的子集，并返回它们的总和。

时间复杂度

本算法的时间复杂度为O(2^n)，其中n是数组的长度。因为在对每个元素都有两种选择，即选择或不选择，所以总的状态数是2^n。