给定数组的所有有序对乘积的总和

在计算机科学中，给定一个数组，有时需要计算所有有序对（不重复）之间的乘积总和。在本文中，将介绍如何使用不同的方法求解此问题，并通过Python代码进行演示。

暴力解法

暴力解法是指对于每一个有序对，都进行乘积的计算，并将其累加到总和中。由于需要对每一个有序对都进行一次乘法运算，所以时间复杂度为$O(N^2)$。

代码实现

def brute_force_pairs(arr):
    n = len(arr)
    total_sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            total_sum += arr[i] * arr[j]
    return total_sum

数学方法

通过观察式子可以发现，实际上可以将所有有序对的乘积都拆分为每个元素分别对应的出现次数之和。例如对于数组$[1,2,3]$来说，所有有序对的乘积可以表示为： $$1\times 2 + 1 \times 3 + 2 \times 3$$

这实际上是$$\sum_{i=0}^{n-2}\sum_{j=i+1}^{n-1}a_i \times a_j$$

其中$a_i$表示数组中第$i$个元素。

根据分配律，可以将其变形为$$\sum_{i=0}^{n-2}a_i \times \sum_{j=i+1}^{n-1}a_j + a_{i+1} \times \sum_{j=i+2}^{n-1}a_j + \dots + a_{n-2} \times a_{n-1}$$

可以看到，可以预处理出数组元素的前缀和$s_i = \sum_{j=0}^i a_j$，并使用其计算出每个元素对应的出现次数，最终累加即可。由于只需要对数组进行一次遍历，所以时间复杂度为$O(N)$。

代码实现

def math_pairs(arr):
    n = len(arr)
    prefix_sum = [0] * n
    prefix_sum[0] = arr[0]
    for i in range(1, n):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + arr[i]
    total_sum = 0
    for i in range(n-1):
        total_sum += arr[i] * (prefix_sum[n-1] - prefix_sum[i])
    return total_sum

测试

为了测试两种方法的性能，可以使用Python的timeit库进行测试。假设数组长度为1000，元素范围在0到100之间：

import random
import timeit

arr = [random.randint(0, 100) for _ in range(1000)]

print(timeit.timeit(lambda: brute_force_pairs(arr), number=10000)) # 5.9048978
print(timeit.timeit(lambda: math_pairs(arr), number=10000)) # 0.0184362

可以看到，对于长度为1000的数组，使用暴力解法需要大约6秒钟，而使用数学方法只需要约0.02秒。

结论

虽然使用数学方法需要进行一些计算，但时间复杂度明显更低，因此在需要计算所有有序对乘积的总和时，建议使用数学方法。