查找数组中最大的除数子集

简介

在一个给定的非空正整数数组中，找出能够被数组中其他元素整除的最大值子集，输出其中任意一个子集即可。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 6]，输出一个满足条件的子集 [1, 2, 4, 6]。

思路

1. 首先将数组进行排序，将数组中的最小值赋值为 min_val。因为我们只需要找到最大的除数子集，因此最小值不可能成为除数，我们可以从 min_val 开始枚举除数。
2. 初始化一个数组 dp，用于保存每个元素的最大除数子集。在开始之前，所有元素都不属于任何子集，因此所有 dp 数组中的元素都为 1。
3. 从 min_val 开始枚举除数 i，对于每个除数，遍历数组中的所有元素 j，如果 j 能够整除 i，则将 dp[j] 更新为 max(dp[j], dp[i] + 1)。
4. 最终 dp 数组中的最大值即为所求的最大除数子集的长度，我们可以倒推出这个子集。

代码实现

def largest_divisible_subset(nums: List[int]) -> List[int]:
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return []

    nums.sort()
    min_val = nums[0]
    dp = [1] * n

    for i in range(min_val, nums[-1] + 1):
        for j in range(n):
            if nums[j] % i == 0:
                dp[j] = max(dp[j], dp[i - min_val] + 1)

    max_val = max(dp)
    idx = dp.index(max_val)
    ans = [nums[idx]]

    for i in range(idx - 1, -1, -1):
        if ans[-1] % nums[i] == 0 and dp[i] == max_val - len(ans) + 1:
            ans.append(nums[i])

    return ans[::-1]

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 表示数组的长度。外层循环枚举了 $n$ 个除数，内层循环枚举了数组中 $n$ 个元素。
• 空间复杂度：$O(n)$。使用了一个 $dp$ 数组，一个存储答案的数组和几个临时变量。