门- Sudo GATE 2020 Mock I（2019 年 12 月 27 日）-问题 12

这是Sudo GATE 2020模拟考试中的问题12。这个问题考察了图论和递归的知识。

问题描述

一个游戏中有N个门，每个门连通两个房间。房间编号从1到N。门可以被锁上。已知开锁某些门后，从房间1出发到任意一个房间i(i!=1)，必须经过一条路径上至少一个被锁着的门。现在你可以打开最多m扇门，你需要选择最少的门使得1号房间与其他房间都连通。如果无法做到这点，输出-1。

请编写函数solve_door(N,edges,has_door,m)，其中N表示房间的数量，edges表示房间之间的门的连接情况，edges[i][0]和edges[i][1]分别表示第i扇门连接的两个房间编号，has_door是一个长度为N的列表，has_door[i]表示房间i的门是否已经锁上(0表示解锁，1表示锁上)，m表示最多可以打开的门的数量。该函数应该返回一个列表L，L[i]表示第i扇门是否需要打开(0表示不需要，1表示需要；如果无法做到所有房间连通，则返回-1)。

示例

输入:

N = 4
edges = [[1, 2], [2, 4], [1, 3], [3, 4]]
has_door = [0, 1, 1, 0]
m = 1

输出:

[0, 0, 0, 0]

解题思路

首先，我们可以将已经被锁上的门全部去掉，只保留没有被锁上的门。

然后，我们可以尝试对每一扇门进行开关，看是否能使1号房间与其他房间连通。为了避免死循环，我们需要记录每个房间是否被访问过，并且每次访问时都只访问没有被访问过的房间。

这里我们可以用递归的方式实现DFS算法。

在递归函数中，我们会遍历当前房间连接的所有房间，再递归访问这些房间，直到找到不需要开门的路径或者访问所有房间都需要开门为止。

由于题目要求我们需要打开尽量少的门，因此我们需要记录已经开门的数量，如果已经开门的数量达到了最大值，我们就不再继续开门，并且返回一个标记值。

代码示例

def solve_door(N, edges, has_door, m):
    # 去掉已经锁上的门
    for i, door in enumerate(has_door):
        if door:
            edges = [edge for edge in edges if i+1 not in edge]

    # 使用DFS算法查找可行的路径
    has_visited = [False] * N
    doors = [0] * len(edges)

    def dfs(current, num_doors):
        if current == N - 1:
            return True
        
        if num_doors == m:
            return -1
        
        has_visited[current] = True
        
        for i, edge in enumerate(edges):
            if edge[0] == current+1 and not has_visited[edge[1]-1]:
                doors[i] = 1
                if dfs(edge[1]-1, num_doors+1) == True:
                    doors[i] = 0
                    return True
                doors[i] = 0
                
            elif edge[1] == current+1 and not has_visited[edge[0]-1]:
                doors[i] = 1
                if dfs(edge[0]-1, num_doors+1) == True:
                    doors[i] = 0
                    return True
                doors[i] = 0
                
        return False
    
    if dfs(0, 0):
        return doors
    else:
        return -1

总结

本题中，我们使用了图论和递归的知识，实现了一个DFS算法，这个算法可以查找从1号房间到最后一个房间需要打开的最少的门。在实现时，我们需要注意记录已经打开的门的数量，避免死循环，并且需要注意返回值的类型。