覆盖国际象棋棋盘所有方块的最低皇后

介绍

在国际象棋中，皇后是一种能力最强的棋子，可以在横向、纵向、斜向上移动，因此可以攻击到棋盘上的任意一个方格。皇后是非常重要的棋子，但在某些棋局中需要使用多个皇后才能覆盖整个棋盘。

本程序旨在寻找在国际象棋棋盘上放置皇后的最低数量，可以覆盖所有方块。

算法

本程序使用回溯算法来求解最低皇后数量。回溯算法是一种暴力算法，通过枚举所有可能的解并逐一排除不符合条件的解来求得最佳解。

具体来说，在本程序中，我们从第一列开始，尝试在每一行中放置皇后，并且判断是否符合条件（即不能在同一行、同一列或同一对角线上）。如果符合条件，则继续向下一列放置皇后；如果不符合条件，则回溯到上一列，选择其他行继续尝试。

实现

我们可以先定义一个棋盘类 Chessboard，其中包括棋盘大小、皇后位置等信息，并提供一个 solve 方法来解决问题。具体实现如下：

class Chessboard:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.board = [[0] * n for _ in range(n)]
        self.row = [0] * n
        self.col = [0] * n
        self.diag1 = [0] * (2*n-1)
        self.diag2 = [0] * (2*n-1)
        self.min_queens = n

    def can_place(self, x, y):
        return self.row[x] == 0 and self.col[y] == 0 and self.diag1[x+y] == 0 and self.diag2[x-y+self.n-1] == 0

    def place_queen(self, x, y):
        self.board[x][y] = 1
        self.row[x] = 1
        self.col[y] = 1
        self.diag1[x+y] = 1
        self.diag2[x-y+self.n-1] = 1

    def remove_queen(self, x, y):
        self.board[x][y] = 0
        self.row[x] = 0
        self.col[y] = 0
        self.diag1[x+y] = 0
        self.diag2[x-y+self.n-1] = 0

    def solve(self, col):
        if col == self.n:
            queens = sum([sum(line) for line in self.board])
            self.min_queens = min(self.min_queens, queens)
            return

        for row in range(self.n):
            if self.can_place(row, col):
                self.place_queen(row, col)
                self.solve(col+1)
                self.remove_queen(row, col)

在 __init__ 方法中，我们初始化棋盘和一些辅助数组。can_place 方法用于判断当前位置是否可以放置皇后。place_queen 和 remove_queen 方法用于放置和移除皇后。

在 solve 方法中，我们从第一列开始，逐一尝试在每一行中放置皇后，并且判断是否符合条件。如果符合条件，则继续尝试下一列；如果不符合条件，则回溯到上一列，选择其他行继续尝试。

当 col 等于棋盘大小时，说明已经覆盖了整个棋盘，此时统计皇后数量，并更新最低数量。

使用

使用该程序非常简单，只需要创建一个 Chessboard 对象，然后调用 solve 方法即可。举个例子，如果要求解一个 $8\times 8$ 的棋盘的最低皇后数量，可以这样写：

board = Chessboard(8)
board.solve(0)
print("Minimum queens needed:", board.min_queens)

总结

本程序展示了回溯算法的应用，解决了一个棋盘问题。回溯算法虽然简单，但是它可以解决许多问题，包括棋盘问题、全排列问题、八皇后问题等等。回溯算法是一种思路清晰、易于实现的算法，对于初学者来说是一个非常好的练手题。