在N * N棋盘上放置两个皇后的方式数量

在一个 N * N 大小的棋盘上放置两个皇后，使得它们不在同一行、同一列或同一斜线上，一共有多少种方法呢？

这是一个经典的问题，可以用排列组合和递归的方法来解决。

解法一：排列组合

首先需要确定皇后的位置。第一颗皇后可以放置在棋盘上的任意一个位置，共有 $N^2$ 种可能；第二颗皇后的可选位置则受到第一颗皇后的限制，共有 $(N-1)(N-3)$ 种可能，这里需要减去第二颗皇后所在的行和列，以及被第一颗皇后所攻击的斜线上的格子。

根据乘法原理，共有 $N^2(N-1)(N-3)$ 种放置方式。

解法二：递归

我们可以用递归来求解放置两颗皇后的所有可能情况。

设 $f(n)$ 表示在一个 $n * n$ 的棋盘上放置两颗皇后的所有可能情况。当 $n = 1$ 时，只有一种放置方式，$f(1) = 1$。当 $n > 1$ 时，考虑放置第一颗皇后的位置，共有 $n^2$ 种可能。接下来，第二颗皇后不能在第一颗皇后所在的行、列或斜线上，这里可以用剪枝来减少不必要的计算。

根据加法原理，$f(n)$ 可以表示为：$$ f(n) = \begin{cases} 1, & n = 1 \ n^2 * (n^2 - 1) - 2 * (n - 1)^2 * f(n-2), & n > 1 \end{cases} $$

递归的时间复杂度为 $O(N!)$，但是由于加了剪枝，实际运行的时间可以大大缩短。

总结

两种方法的时间和空间复杂度都比较低，适用于小规模问题的求解。如果需要求解更大规模的问题，可以考虑采用位运算等高效的算法。