求 Zumkeller 数的第 N 个项

介绍

Zumkeller 数列是一个非常有趣的整数数列, 它的每一项都是前面所有项的非负整数和, 即 $a_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_i$。它的前几项为: 0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, ...。

在这里, 我们将介绍如何求 Zumkeller 数列的第 N 个项。

方法

方法一: 暴力求解

最简单的方法就是通过逐一求解的方式, 对每一项逐一求和, 直到达到第 N 个项。然而, 这种方法的时间复杂度为 $O(N^2)$, 对于大规模数据来说, 时间复杂度过高。

def zumkeller(n):
    res = [0, 0] + [None] * (n - 1)
    for i in range(2, n + 1):
        res[i] = sum(filter(lambda x: x is not None, res[:i]))
    return res[n]

方法二: 数学公式求解

通过对 Zumkeller 数列进行分析, 我们可以发现它的通项公式为 $a_n=\frac{1}{2}(n^2-3n+4)$。因此, 我们可以直接根据公式求得第 N 个项, 时间复杂度为 $O(1)$。

def zumkeller(n):
    return int((n**2 - 3*n + 4) / 2)

总结

通过上述两种方法, 我们可以比较容易的求得 Zumkeller 数列的第 N 个项。对于较小的数据, 我们可以使用暴力方法求解, 而对于中等规模的数据, 我们可以通过数学公式求解, 时间复杂度更低。

注意: 在实际应用中, 我们需要根据具体情况选择合适的求解方法。