通过减少数组元素以不包含三元组 (i, j, k) 来最大化数组总和

问题描述

给定一个由整数组成的数组 a，其中可能存在多个三元组 (i, j, k)，满足 a[i] < a[j] 且 a[i] < a[k] 且 j < k。现在需要你从数组中选出尽可能少的元素，使得选出的元素不能组成任何三元组，同时这些元素的和最大。

解题思路

首先，我们将原问题简化为不包含任何三元组的问题。具体来说，我们可以将问题描述为：给定一个由整数组成的数组 a，从中选出尽可能少的元素，使得选出的元素不能组成任何三元组，同时这些元素的和最大。

考虑贪心策略，我们可以优先选择当前最小的元素，这样可以最大程度地减少后面可能出现的三元组。形式化地说，我们可以按以下方式选择元素：

1. 将数组 a 按升序排序。
2. 初始化一个空数组 b 和一个整数变量 last，其中 last 表示上一个选出的元素在数组 a 中的下标，初始化为 -1。
3. 依次遍历数组 a 的每个元素 a[i]，如果满足 i > last 且 a[i] 不能和数组 b 中的任何两个元素组成三元组，那么将 a[i] 添加到数组 b 中，并将 last 更新为 i。
4. 返回数组 b 中的元素之和，即为所求。

为什么这样的贪心策略是正确的呢？假设已经得出最优解，设其由元素 v1, v2, ..., vk 组成，其中 v1 是数组 a 中的最小元素。如果 v1 在数组 b 中，则我们已经找到了其最优子解，因此可以在数组 b 中选择 v1。否则，v1 不能和数组 b 中的任何元素组成三元组，因此可以在数组 b 中选择比 v1 大的元素（例如 a[1]），这样可以最大程度地减少可能出现的三元组，从而得到更优的解。由此，我们可以证明上述贪心策略是正确的。

代码实现

以下是使用 Python 3 实现上述贪心策略的代码：

def max_sum_without_triad(a):
    a.sort()
    b = []
    last = -1
    for i in range(len(a)):
        if i > last and all(a[i] >= x + y for j, x in enumerate(b) for k, y in enumerate(b) if j < k):
            b.append(a[i])
            last = i
    return sum(b)

总结

本题介绍了一种贪心策略，用于求解由整数组成的数组中，选出尽可能少的元素，使得选出的元素不能组成任何三元组，同时这些元素的和最大。我们可以将原问题简化为不包含任何三元组的问题，并按升序排序后依次选择元素。通过数学证明，我们证明了该贪心策略是正确的。