题目概述

本题出自"门|门 IT 2005"，为算法题第88题。该题需要设计一种算法，对于给定的数列，寻找其中的“最长单调不降子序列长度”，并输出该长度。

题目详解

问题描述

给出一个不限长度的数字序列，要求设计一个算法，能够找到该序列中的最长单调不降子序列，并求出该子序列的长度。

例如，对于序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5}，其最长单调不降子序列为 {1, 2, 5, 5}，长度为 4。

解题思路

本题可以使用“动态规划”的思路进行求解。

具体来说，我们可以定义一个数组 dp[i]，表示以第 i 个元素为结尾的最长单调不降子序列的长度。

对于第 i 个元素，其可能会对 dp[i] 产生影响的情况有两种：

1. 该元素之前的某一个元素 j，比 i 大，但是 j 是单调不降子序列中的最后一个元素，此时 dp[i] = dp[j] + 1；
2. 该元素之前的某一个元素 j，比 i 小，则 i 不能加入 j 所在的单调不降子序列中，所以 dp[i] = dp[i-1]。

最后遍历完整个序列后，dp 数组中的最大值，即为最长单调不降子序列的长度。

代码实现

def longest_increasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] <= nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

测试样例

Input

[3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]

Output

4

总结

本题是一道经典的动态规划问题。虽然看上去复杂，但是只需按照规定的思路进行分析和实现，即可得到正确的答案。这也提醒了我们，学好算法，关键在于要掌握一定的思考和分析能力。