介绍 UGC NET CS 2014 年 12 月 – III |问题 35

UGC NET CS 2014 年 12 月 – III |问题 35是一道计算机科学的问题，主要涉及数据结构中的红黑树。

问题描述

给定一棵带有 n 个节点的红黑树，每个节点上有一个正整数权值，权值和为 S。现在需要将每个权值增加一个值 k，同时保证树的平衡性质不变，且新树中的每个节点的权值余数为0或1或2或3，均匀随机。请设计线性时间的算法，对树上的每个节点的权值进行修改。

解决方案

在查找、插入和删除操作时，红黑树会自动地保持平衡，以保证时间复杂度为O(log n)。因此，我们只需要修改每个节点的权值，并且保证新树的平衡性质不变即可。

由于我们需要保证新树的每个节点的权值余数为0或1或2或3，我们可以将k按模4意义下的余数进行处理。即，我们将每个节点的权值增加k mod 4的值，这样就可以保证新树的每个节点的权值余数为0或1或2或3。此外，我们还需要将S增加nk mod 4的值，其中n为节点个数。

具体算法如下：

1. 对于每个节点，将其权值增加k mod 4的值。
2. 计算新的S，即原来的S加上nk mod 4的值，其中n为节点个数。
3. 对于每个节点，计算其子树的节点个数，同时将子树的节点个数加1。
4. 遍历树，对于每个节点，计算其新的子树节点个数，同时将子树的节点个数减1，以保证新树的平衡性质不变。

由于红黑树的查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，遍历树的时间复杂度也为O(log n)，因此总时间复杂度为O(n log n)。

代码实现

上述算法实现的代码如下，使用了Python语言：

def modify_tree(root, k):
    # step 1
    dfs_modify(root, k % 4)
    # step 2
    n = dfs_count(root)
    S = dfs_sum(root)
    S += n * (k % 4)
    # step 3
    dfs_count_subtree(root)
    # step 4
    dfs_count_subtree_new(root)
    return root

def dfs_modify(node, k):
    node.val += k
    if node.left:
        dfs_modify(node.left, k)
    if node.right:
        dfs_modify(node.right, k)

def dfs_count(node):
    if not node:
        return 0
    return dfs_count(node.left) + dfs_count(node.right) + 1

def dfs_sum(node):
    if not node:
        return 0
    return dfs_sum(node.left) + dfs_sum(node.right) + node.val

def dfs_count_subtree(node):
    if not node:
        return
    dfs_count_subtree(node.left)
    dfs_count_subtree(node.right)
    if node.left:
        node.subtree_size += node.left.subtree_size + 1
    if node.right:
        node.subtree_size += node.right.subtree_size + 1

def dfs_count_subtree_new(node):
    if not node:
        return
    if node.left:
        node.left.subtree_size_new = node.subtree_size - node.left.subtree_size - 1
    if node.right:
        node.right.subtree_size_new = node.subtree_size - node.right.subtree_size - 1
    dfs_count_subtree_new(node.left)
    dfs_count_subtree_new(node.right)

以上代码实现只是为了示范算法的实现思路，实际应用中可能还需要根据实际情况进行改进和优化。