鸡蛋掉落之谜 (二项式系数和二元搜索解决方案)

什么是鸡蛋掉落之谜

鸡蛋掉落之谜是计算机科学中一道经典的问题。它的描述是：给定 $k$ 个鸡蛋和 $n$ 层楼，找到最少需要多少次才能确定鸡蛋从那个楼层开始会摔破。

一元搜索解决方案

一元搜索解决方案采用了最朴素的方法：一个一个地尝试每一层楼直到找到鸡蛋摔破的那一层。

def eggDrop(k, n):
    if (n == 0 or n == 1):
        return n
        
    if (k == 1):
        return n
    
    min_num_drops = n
    
    for x in range(1, n):
        break_egg = eggDrop(k - 1, x - 1)
        not_break_egg = eggDrop(k, n - x)
        
        num_drops = max(break_egg, not_break_egg) + 1
        
        if (num_drops < min_num_drops):
            min_num_drops = num_drops
            
    return min_num_drops

该算法的时间复杂度为 $O(kn^2)$，显然不太符合要求。因此，我们需要寻找更高效的算法。

二元搜索解决方案

二元搜索解决方案采用了二分查找的方法。我们在区间 $[1, n]$ 上进行二分查找，尝试找到一个临界楼层 $x$，使得当鸡蛋从 $x$ 层摔下时刚好能摔破，而鸡蛋从 $x-1$ 层时不能摔破。然后分别对 $x-1$ 和 $n-x$ 两个区间进行递归调用，取两次递归调用的结果中的最大值加一即可得到最少需要多少次才能确定鸡蛋从那个楼层开始会摔破。

def eggDrop(k, n):
    min_num_drops = float('inf')
    
    start, end = 1, n
    
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        
        break_egg = eggDrop(k - 1, mid - 1)
        not_break_egg = eggDrop(k, n - mid)
        
        if break_egg > not_break_egg:
            end = mid - 1
            num_drops = break_egg + 1
        else:
            start = mid + 1
            num_drops = not_break_egg + 1
        
        if num_drops < min_num_drops:
            min_num_drops = num_drops
            
    return min_num_drops

该算法的时间复杂度为 $O(kn \log n)$，是一个比较高效的算法。