给定 Q 查询的最小频率的彩色树的子树中不同颜色的计数

问题描述

给定一棵彩色树，每个节点上有一个颜色，现在需要支持 Q 次查询，每次查询给定节点下的子树中，颜色出现次数最小的颜色数量是多少。

解决方案

一种简单的解决方案是对每个查询的节点进行一次深度优先搜索，统计子树中每个颜色的出现次数，然后找到出现次数最小的颜色数量。

这种算法的时间复杂度为 $O(Qn)$，其中 $n$ 是树的节点数，对于大规模的数据，效率太低。

因此，我们需要通过预处理来优化查询的效率。具体来说，我们可以预处理出每个节点的子树中，每种颜色的出现次数，将这些信息保存在数组中。然后，在查询的时候，直接从数组中获取结果，计算出出现次数最小的颜色数量即可。

这里还需要考虑两个问题：

• 如何统计子树中每种颜色的出现次数？
• 如何实现查询时的快速计算？

针对第一个问题，这里可以使用递归的方式进行统计，从根节点开始，递归计算每个子节点的信息，并将这些信息合并到其祖先节点中。具体来说，每个节点需要存储以下信息：

• 颜色出现次数数组 $count[i]$：表示子树中颜色 $i$ 出现的次数。
• 颜色数量 $num$：表示子树中不同颜色的数量。

对于一个节点 $u$，我们递归处理其所有子节点 $v$，并将 $v$ 的信息合并到 $u$ 中：

for each child v of u:
    dfs(v)
    for i from 1 to n:
        u.count[i] += v.count[i]
    u.num += v.num

针对第二个问题，可以使用线段树或者树状数组来实现。以树状数组为例，我们可以将数组 $count$ 转化为一个树状数组，支持单点修改和区间查询。具体来说，对于节点 $u$，其对应的树状数组为 $bit_u$，则可以使用以下代码来查询出现次数最小的颜色数量：

for i from 1 to n:
    bit_sum[i] = bit_u.sum(i)
min_count = min(bit_sum)
ans = 0
for i from 1 to n:
    if bit_sum[i] == min_count:
        ans += 1

这里的 $n$ 表示颜色的数量，$bit_sum$ 表示某个节点的子树中，每种颜色出现次数的前缀和数组，$min_count$ 表示出现次数最小的颜色数量。

代码实现

以下是使用 Python 实现的代码，其中 $bit$ 表示树状数组，$count$ 表示每个节点的颜色出现次数数组，$num$ 表示每个节点子树中不同颜色的数量：

def dfs(u):
    count[u] = [0] * (n + 1)
    count[u][color[u]] = 1
    num[u] = 1
    for v in adj[u]:
        dfs(v)
        for i in range(1, n + 1):
            count[u][i] += count[v][i]
        num[u] += num[v]

def query(u):
    bit_sum = [0] * (n + 1)
    while u != 0:
        for i in range(1, n + 1):
            bit_sum[i] += bit[u][i]
        u = parent[u]
    min_count = min(bit_sum)
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if bit_sum[i] == min_count:
            ans += 1
    return ans

n, q = map(int, input().split())
color = [0] * (n + 1)
parent = [0] * (n + 1)
adj = [[] for i in range(n + 1)]
bit = [[0] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
count = [[0] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
num = [0] * (n + 1)
for i in range(1, n + 1):
    color[i], parent[i] = map(int, input().split())
    adj[parent[i]].append(i)
dfs(1)
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if count[i][j] != 0:
            bit[i][j] += count[i][j]
            k = i + (i & -i)
            while k <= n:
                bit[k][j] += count[i][j]
                k += k & -k
for i in range(q):
    u = int(input())
    print(query(u))

总结

本文介绍了给定 Q 查询的最小频率的彩色树的子树中不同颜色的计算方法，并使用 Python 实现了相应的算法。通过预处理子树信息，和使用树状数组进行快速计算，达到了优化查询效率的目的。