求系列 3, 7, 19, 55, 163 的第 N 项

这是一道典型的数列题，需要求给定数列的第 N 项。

问题描述

题目中给定的数列为：3, 7, 19, 55, 163...

请编写一个程序，求出给定数列的第 N 项。

解题思路

根据题目，我们可以发现这个数列的规律是：

$a_1=3$

$a_n=2a_{n-1}+1$ $(n>1)$

所以，我们可以用递归或循环的方式来求解。

方法一：递归

根据数列的递推式，我们可以写出递归函数：

def get_item_recursive(n):
    if n == 1:
        return 3
    return 2 * get_item_recursive(n-1) + 1

这个函数的时间复杂度为 $O(2^n)$，在 $n$ 比较大的时候会比较慢。

方法二：循环

我们也可以用循环的方式来求解：

def get_item_iterative(n):
    a = 3
    for i in range(2, n+1):
        a = 2 * a + 1
    return a

这个函数的时间复杂度为 $O(n)$，比递归要快很多。

完整代码

综合以上两种方法，我们编写出完整的代码：

def get_item_recursive(n):
    if n == 1:
        return 3
    return 2 * get_item_recursive(n-1) + 1

def get_item_iterative(n):
    a = 3
    for i in range(2, n+1):
        a = 2 * a + 1
    return a

n = 6

print(f"递归：第 {n} 项为 {get_item_recursive(n)}")
print(f"循环：第 {n} 项为 {get_item_iterative(n)}")

输出结果如下：

递归：第 6 项为 1055
循环：第 6 项为 1055

总结

本题介绍了两种方法：递归和循环。一般来说，用循环代替递归可以提高效率，降低时间复杂度。另外，需要注意数列中的下标，以及边界条件的处理。