求解位于 [L, R] 范围内的所有完美数总和

完美数是一种特殊的数字，它等于其所有的因数（除自己外）之和。例如，6是第一个完美数，因为6 = 1 + 2 + 3。

现在给定一个区间 [L, R]，请你计算出该区间内所有完美数的总和。

解法一：暴力枚举

最简单粗暴的方法就是直接枚举区间内的每个数，然后判断其是否为完美数，如果是，则加入结果中。

判断一个数是否为完美数的方法非常简单，只需要枚举其因数，然后将因数累加起来，看是否等于该数本身即可。

时间复杂度：$O((R-L)\sqrt{R})$

细节处理：

• 界限$L$和$R$可能非常大，需要使用$long\ long$类型存储结果。
• 对于每个数字，需要做完整的因数枚举，这个过程需要注意重复计算，即当我们找到一对因数时，同时将其余数也加入结果中是不合理的。

解法二：欧拉筛法

欧拉提出了一种非常强大的质数筛法——欧拉筛法，它不仅可以判断质数，还可以判断完美数。

欧拉筛法的基本思想是：将筛掉的数标记为它的最小质因数，这样对于任意一个合数，都能被它的最小质因数筛掉。

接下来，我们需要证明一个定理：

如果一个数N能够用若干个质数的积来表示，那么这个乘积中，每个质数的指数必须不大于2。

证明：

假设一个数N能够用若干个质数的积来表示，其中某个质数的指数等于3，则这个数可以写成$N=p^{3}a$，其中$p$是质因子，$a$是$p$以外的质因子。我们可以根据这个式子构造出一个因数对：$(p^2, pa)$，这两个数都是$N$的因数，它们之和为$N+p^2a<N+p^3a=2N$，因此$N$不是完美数。

根据上述定理，我们知道，如果一个数$N$是完美数，那么它的所有质因子的指数必须是1或2。根据这个性质，我们可以预处理出所有小于等于$\sqrt{R}$的质数并记录它们的平方和。由于完全数都是偶数，因此这样可以省掉一半的计算量。

接下来，我们需要使用欧拉筛法，逐个遍历大于$\sqrt{R}$的数。对于每个数，我们可以将其分解质因数，然后计算出其所有因子的和。如果这个和等于该数的2倍，则说明该数为完美数，将其加入结果中。

时间复杂度：$O(\sqrt{R}\log\log{R}+(R-L)\sqrt{R})$

细节处理：

• 在欧拉筛法中，对于每个数，我们需要记录下标记它的质因数，以便后续计算因子和。这里，我们可以使用另外一个数组$f$来存储，当$f[i]=0$时，表示$i$是质数，当$f[i]=p$时，表示$i$的最小质因数为$p$。

解法三：优化欧拉筛法

在上述解法中，我们使用欧拉筛法来预处理质数和计算因子和，但是实际上这个过程可以优化。

根据第一个定理，我们知道完美数的所有质因子指数必须是1或2，也就是说，我们只需要枚举完全平方数的因子即可。例如，如果我们知道一个数$x$是完全平方数，它可以表示为$p^2$，那么它的因子有$p^0=1$和$p^1=p$两个，我们只需要计算这两个数对结果的贡献，其他因子的贡献都可以通过这两个相乘得到。

因此，我们只需要预处理出$[1, \sqrt{R}]$区间内的完全平方数，然后计算它们的贡献即可。

时间复杂度：$O(\sqrt{R}+\frac{R-L}{\sqrt{R}})$

细节处理：

• 在预处理完全平方数时，我们需要注意，当一个数是完全平方数时，它只能被计算一次。因此，我们可以使用一个$vis$数组来记录。

总结

对于该问题，我们可以采用暴力枚举、欧拉筛法以及优化欧拉筛法三种方法来求解。其中，暴力枚举较为简单，但时间复杂度较高；欧拉筛法可以通过加速预处理过程来优化，但代码较为复杂；优化欧拉筛法虽然实现相对简单，但容易出错。针对不同场景，我们可以选择不同的算法，达到更好的效果。