位于 [L, R] 范围内的所有完全数的总和

简介

本文将对如何找出位于 [L, R] 范围内的所有完全数，并计算它们的总和进行介绍。完全数是指一个数恰好等于它的所有真因子（不包括自身）的和。例如，6是一个完全数，因为它的真因子是 1, 2, 3，它们的和为 6。

解题思路

要找出位于 [L, R] 范围内的所有完全数，我们可以遍历该范围内的每个数，判断它是否是完全数。对于每个数，我们需要找出它的真因子，然后将这些因子相加，如果和等于这个数本身，则该数是一个完全数。

为了找出一个数的所有真因子，我们可以遍历从 1 到 n/2 的每个数，将 n 取余该数，如果余数为 0，则该数是 n 的真因子之一。我们需要将所有的真因子相加，得到的和即为 n 的真因子和。

具体步骤如下：

1. 定义一个变量 total_sum，用于保存完全数的总和，初始化为 0。
2. 遍历从 L 到 R 的每个数，用变量 num 表示当前的数。
3. 对于每个 num，计算它的真因子和。
   • 初始化一个变量 factor_sum，用于保存 num 的真因子和，初始化为 0。
   • 遍历从 1 到 num/2 的每个数，用变量 factor 表示当前的数。
     • 如果 num 取余 factor 的余数为 0，则将 factor 加入到 factor_sum 中。
   • 如果 factor_sum 等于 num，则将 num 加入到 total_sum 中。
4. 返回 total_sum，即为位于 [L, R] 范围内的所有完全数的总和。

代码实现

以下是使用 Python 编程语言实现上述解题思路的代码片段：

def get_perfect_numbers_sum(L, R):
    total_sum = 0
    for num in range(L, R + 1):
        factor_sum = 0
        for factor in range(1, num // 2 + 1):
            if num % factor == 0:
                factor_sum += factor
        if factor_sum == num:
            total_sum += num
    return total_sum

使用示例

你可以按照以下方式使用上述代码片段：

L = 1
R = 10000
result = get_perfect_numbers_sum(L, R)
print(result)  # 输出位于 [L, R] 范围内的所有完全数的总和

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(R * sqrt(R))，其中 R 为范围的长度。对于每个数，最多需要遍历它的一半来找出真因子，因此时间复杂度为 O(sqrt(R))。总共需要遍历 R 个数，因此时间复杂度为 O(R * sqrt(R))。空间复杂度为 O(1)，只使用了有限的额外空间。

总结

通过遍历 [L, R] 范围内的每个数，计算它们的真因子和，并将满足条件的完全数相加，我们可以得到位于 [L, R] 范围内的所有完全数的总和。根据上述解题思路，我们编写了一个用于计算完全数总和的函数，并提供了使用示例以及复杂度分析。希望本文能够帮助你理解并解决相关问题。