伽玛函数

什么是伽玛函数

伽玛函数（Gamma Function）是数学分析中的一种特殊函数，它与阶乘有密切的关系。

伽玛函数可以表示为 $$ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt $$ 其中 $z$ 是复数，叫做参数，满足 $Re(z) > 0$。

当 $z$ 是正整数时，$\Gamma(z) = (z-1)!$；当 $z$ 是半整数时，$\Gamma(z)$ 有简单形式的解。

伽玛函数在计算机领域的应用

伽玛函数在计算机领域有很多重要的应用，例如：

概率论和统计学

伽玛函数的求解可以被应用于概率密度函数的计算，从而用于概率论和统计学的相关研究领域。

机器学习

伽玛函数的求解也被应用于机器学习中的各种模型，例如 LDA（Latent Dirichlet Allocation），RLDA（Regularized LDA）等。

计算复杂性理论

伽玛函数与计算复杂性理论也有密不可分的关系。自 PSPACE（Polynomial-Space）属于 $\large \mathcal{NP}$ （Non-deterministic Polynomial）时间复杂性类别以来，计算复杂性理论中就开始涉及到伽玛函数。

伽玛函数的计算方法

计算伽玛函数有很多方法，以下是其中几种比较常见的方法：

斯特林公式

斯特林公式（Stirling's formula）是一种逼近伽玛函数的公式。

斯特林公式可以表示为： $$ \log \Gamma(z+1) \sim \left( z+\frac{1}{2} \right) \log(z) - z + \frac{1}{2} \log(2\pi) + \frac{1}{12z} $$

阶乘递推公式

阶乘递推公式也可以用于计算伽玛函数。阶乘递推公式可以表示为： $$ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) $$

Python实现

Python 中的 math 模块已经提供了伽玛函数的计算方法，只需要使用 math.gamma() 函数即可。

import math

# 计算伽玛函数
result = math.gamma(3.5)

print(result)  # 3.3233509704478425

参考资料

• Wikipedia: 伽玛函数 (https://zh.wikipedia.org/wiki/伽玛函数)