通过乘以任意数或取平方根来减少 N 的最小操作

本文将介绍一个有趣且实用的问题和解决方法——如何通过乘以任意数或取平方根来减少一个给定数字N的值，使得经过最少的操作后得到一个目标值M。

问题描述

给定两个整数N和M，每次可以选择以下两种操作之一：

1. 将N乘以任意整数（>1）；
2. 将N开平方。

问最少需要多少次操作，才能将N变为M？

解决方法

首先需要明确一点：每次操作后N必须为整数。因此，如果M不能被N整除，那么就永远无法通过乘以任意整数或开平方的方式将N变为M。因此，第一步应该判断M是否能被N整除。

如果M能够被N整除，那么可以通过以下几种方式将N变为M：

1. 将N乘以M/N；
2. 将N开平方并重复操作1，直到N为M。

以上两种方式均可以将N变为M，但是操作次数可能不同。接下来我们来分析一下，如何以最小操作次数将N变为M。

求质因数

首先，我们将M进行质因数分解，比如当M为18时：

M = 2 * 3 * 3

我们将上式中的每个质因数记为m1，m2，...，mk，其中k为质因数的个数。

然后，我们分别分解N和M，将得到：

N = p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * ... * pn ^ an
M = m1 ^ b1 * m2 ^ b2 * ... * mk ^ bk

其中，pi（1 ≤ i ≤ n）和mj（1 ≤ j ≤ k）均为质数。

操作次数的计算

根据以上分解式，我们可以得到N和M在各个质因数上的指数。因为每次操作只能乘以整数或开平方，所以当N和M在这些质因数上的指数不同时，将无法通过简单的乘以整数或开平方来到达目标值。

具体来说，每当N的某个质因数指数小于M的相应质因数指数时，我们可以将N乘以该质因数的幂，使其达到或超过M在该质因数上的指数；反之，当N的某个质因数指数大于M的相应质因数指数时，我们可以将N开该质因数的平方根，使其达到或低于M在该质因数上的指数。

根据上述操作规则，我们可以通过如下算法求出将N变为M所需的最少操作次数：

1. 首先，将M和N分别进行质因数分解；
2. 然后，分别比较M和N在各个质因数上的指数，计算出需要乘以的整数或开方的值；
3. 计算所有需要操作的值；
4. 统计所有操作的次数。

以上算法的时间复杂度为O(logM)，其中logM表示以2为底M的对数。

代码实现

下面是使用Python编写的一个将N变为M的最少操作次数的函数实现：

from collections import defaultdict
from math import log2, sqrt


def divide(n):
    """
    质因数分解
    """
    d = defaultdict(int)
    while n % 2 == 0:
        d[2] += 1
        n //= 2
    for i in range(3, int(sqrt(n)) + 1, 2):
        while n % i == 0:
            d[i] += 1
            n //= i
    if n > 2:
        d[n] += 1
    return d


def min_ops(n, m):
    """
    将n变为m的最少操作次数
    """
    if m % n != 0:
        return -1
    count = 0
    d1, d2 = divide(n), divide(m)
    for i in d2:
        if i not in d1:
            d1[i] = 0
        count += abs(d2[i] - d1[i])
    return count

总结

通过分析可以发现，将N变为M的最少操作次数仅仅与N和M在各个质因数上的指数有关，而与具体的N和M大小无关。因此，以上算法未仅在计算时间上具有较高效率，而且可以处理任意大小的N和M。该算法可以应用于各种问题中，例如在计算机科学和密码学领域中经常使用到质因数分解和幂运算等运算。