UGC NET CS 2016 年 8 月 – III |问题 74

本文针对程序员，介绍UGC NET CS 2016 年 8 月 – III中的问题74。

问题描述

问题74: 假设有一个$n \times n$矩阵$A$，其中$1 \leq i,j \leq n$。如果$A_{ij}=\min(A_{ik}+A_{kj})$，则称矩阵$A$是一个Floyd-Warshall矩阵。一个$n \times n$矩阵$B$是一个弱Floyd-Warshall矩阵，当且仅当存在一个常数$c$，使得$B_{ij} \leq \min(B_{ik}+B_{kj}+c)$。如果$B$和$c$是给定的，如何在$O(n^3)$时间内检查$B$是否为弱Floyd-Warshall矩阵？

解决方案

根据问题描述，我们需要检查给定的矩阵$B$是否为弱Floyd-Warshall矩阵。我们可以按照如下步骤进行检查：

1. 对于每个$i,j$，计算$\Delta_{ij} = B_{ij} - \min(B_{ik}+B_{kj})$。
2. 如果$\Delta_{ij} \leq c$对于所有的$i,j$都成立，则矩阵$B$是一个弱Floyd-Warshall矩阵。

根据问题描述，$B_{ij}$和$c$是已知的，因此我们只需要计算$\Delta_{ij}$并进行比较。

接下来，我们考虑如何计算$\Delta_{ij}$。根据定义，$\Delta_{ij} = B_{ij} - \min(B_{ik}+B_{kj})$，将公式变形得到$\Delta_{ij} + \min(B_{ik}+B_{kj}) = B_{ij}$。因此，我们可以用一个变量$min_{ij}$保存$\min(B_{ik}+B_{kj})$的值，然后计算$\Delta_{ij}$，并将其与$c$进行比较。

代码片段如下：

def is_weak_floyd_warshall_matrix(B, c):
    n = len(B)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            min_ij = float('inf')
            for k in range(n):
                if k != i and k != j:
                    min_ij = min(min_ij, B[i][k] + B[k][j])
            delta_ij = B[i][j] - min_ij
            if delta_ij > c:
                return False
    return True

以上就是本文针对程序员，介绍UGC NET CS 2016 年 8 月 – III中的问题74的解决方案。