根据给定的权重构造没有具有相同权重的相邻节点对的 N 元树

背景

在一些算法竞赛中，考察的问题比较抽象，需要我们使用数据结构来解决问题。这种问题中，常常需要我们利用权重构造一颗没有相同权重的相邻节点对的 N 元树。下面将介绍如何实现这样一种数据结构。

介绍

一个没有相同权重的相邻节点对的 N 元树，指的是一个有 N 个节点的树，且每个节点都有一个权重。且满足两个条件：

• 任意两个相邻的节点的权重不相等；
• 最大的权重值，等于它到根节点的路径上，所有节点的权重之和。

现在，我们有 n 个正整数（即这些正整数是我们要构建 N 元树的节点的权重），如何构造这样一棵 N 元树呢？

算法

一个常见的算法是使用堆。首先，将这 n 个正整数做成一个小根堆，则堆顶元素就是根节点的权重。对于堆中的其他元素，我们按顺序将它们依次插入到树中。为了保证权重不同，我们还需要进行调整。具体的调整方式为：

将新插入的节点往上移动，直到它的父节点的权重比它小为止。

代码实现

这是一个具体实现，其中，我们可以将节点表示成一个二元组，包含节点数值和节点所在层数信息。代码如下：

from queue import PriorityQueue

def build_nary_tree(nums):
    heap = PriorityQueue()
    for num in nums:
        heap.put((num, 0))

    nodes = [None] * len(nums)
    nodes[0] = heap.get()

    for i in range(1, len(nums)):
        node = heap.get()
        parent_node = nodes[(i - 1) // N]
        while parent_node[0] < node[0]:
            node_level = node[1]
            node = (node[0], node[1] + 1)
            parent_idx = (i - 1 - N) // N
            if parent_idx < 0:
                break
            parent_node, nodes[parent_idx] = nodes[parent_idx], node
        nodes[i] = node
    return nodes

nums = [4, 3, 5, 1, 2, 6, 7]
N = 2
nodes = build_nary_tree(nums)

总结

本文中，我们介绍了一个构造没有相同权重的相邻节点对的 N 元树的算法。使用堆，可以很好地实现这种需求，算法的时间复杂度为 O(N log N)。