构造一个不包含任何具有相同值的相邻节点对的图

这个问题可以转化为构造一个没有相邻节点共享相同值的有向无环图（DAG）。我们可以使用拓扑排序来构造这个图。

拓扑排序

拓扑排序是一种有向无环图的排序算法，它可以将一个DAG按照拓扑序列的顺序进行排序。拓扑序列是指对于任意的有向边 (u, v)，u 在拓扑序列中都排在 v 之前。

拓扑排序的实现过程如下：

1. 找到所有入度为 0 的节点，并将它们加入队列 q。
2. 取出队首节点 u，并将它从图中删除（连通的边也一并删除），并将所有 u 的后继节点的入度减 1。
3. 如果此时某个后继节点的入度变成了 0，则将它加入队列 q。
4. 重复步骤 2 和 3 直到队列 q 为空。排序完成后，如果仍有剩余的节点，说明有环存在。

构造无相邻节点共享相同值的有向无环图

我们可以根据题目的要求，将每个节点看成一个取值范围是 1 到 n 的变量，然后我们仅仅需要每次将可选的值缩小。

指定一个起点节点 u，其取值范围是 1 到 n，我们可以使用拓扑排序的思路来从 u 出发构造一个 DAG。具体过程如下：

1. 将起点节点 u 的取值范围设为 1 到 n，并加入队列 q。
2. 取出队首节点 v，开始将 v 的后继节点的取值范围缩小。假设 v 的后继节点为 w，则 w 的取值范围为 [1, n-1]，因为 v 和 w 相邻，取值范围不能重叠。
3. 如果某个后继节点的取值范围为空，则说明构造失败，返回空数组。
4. 将所有值的取值范围缩小后，加入队列 q。
5. 重复步骤 2 到 4 直到队列 q 为空。排序完成后，如果仍有剩余的节点，说明有环存在，返回空数组。

下面是这个算法的 Python 代码实现：

from typing import List
from collections import deque

def build_graph(n: int, u: int) -> List[List[int]]:
    graph = [[] for _ in range(n)]
    in_degree = [0] * n
    q = deque([u])
    range_list = [[1, n] for _ in range(n)]

    while q:
        v = q.popleft()

        for w in graph[v]:
            for i in range(len(range_list[w])):
                if range_list[w][i] == v:
                    range_list[w][i] += 1
            if not range_list[w]:
                # 构造失败
                return []

        next_nodes = []
        for w in graph[v]:
            if not in_degree[w]:
                next_nodes.append(w)
            in_degree[w] -= 1
        graph[v] = []

        for w in next_nodes:
            intersect_range = [max(range_list[v][0], range_list[w][0]), min(range_list[v][1], range_list[w][1])]
            if intersect_range[0] <= intersect_range[1]:
                range_list[w] = intersect_range
                in_degree[w] -= 1
                if not in_degree[w]:
                    q.append(w)

    return [[v, range_list[v]] for v in range(n)]

这个函数接受两个参数，n 表示节点的个数，u 表示起点节点的编号。返回一个包含节点编号和取值范围的列表。如果构造失败，则返回空数组。

总结

本文介绍了一个构造不包含相邻节点共享相同值的有向无环图的算法。这个算法的核心思想是使用拓扑排序的方法缩小每个节点的取值范围。最后，我们返回一个包含节点编号和取值范围的列表。