查找最小长度的子数组，其中有给定的子序列

在解决数组或字符串相关问题时，我们经常需要查找子串或子序列。这里提到的问题是在给定数组中查找最小长度的子数组，其中包含给定的子序列。这个问题有多种解决方案，我们将逐个介绍并比较它们的优缺点。

解法一：暴力搜索

最简单直接的解法，就是对数组中的每个元素，从该元素开始向后搜索，看能否找到子序列，并计算包含子序列的最小长度。

def find_min_subarray_naive(arr, seq):
    """
    暴力搜索解法，时间复杂度为 O(n^3)
    """
    min_len = float('+inf')
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            if all(x in arr[i:j+1] for x in seq):
                min_len = min(min_len, j-i+1)
    return min_len if min_len != float('+inf') else -1

该解法时间复杂度为 O(n^3)，因为内层循环中遍历了所有可能的子数组，同时对于每个子数组都要判断是否包含了子序列。虽然该解法简单易懂，但对于较大的数组性能十分低下。

解法二：滑动窗口

滑动窗口是解决数组、字符串子串问题的一种有效思路，其基本思想是通过维护一个窗口和两个指针，来遍历所有可能的子串。在该问题中，我们同样可以使用滑动窗口的思路，通过维护一个窗口来寻找最短子数组。

def find_min_subarray_sliding(arr, seq):
    """
    滑动窗口解法，时间复杂度为 O(n)
    """
    seq_dict = {x:0 for x in seq}
    for x in seq:
        if x not in arr:
            return -1
    
    start, end, min_len, cnt = 0, 0, float('+inf'), 0
    while end < len(arr):
        if arr[end] in seq_dict:
            seq_dict[arr[end]] += 1
            if seq_dict[arr[end]] == 1:
                cnt += 1
            if cnt == len(seq):
                while seq_dict[arr[start]] > 1 or arr[start] not in seq_dict:
                    if arr[start] in seq_dict:
                        seq_dict[arr[start]] -= 1
                    start += 1
                min_len = min(min_len, end-start+1)
        end += 1
    
    return min_len if min_len != float('+inf') else -1

该解法的时间复杂度是 O(n)，因为在每个元素遍历一遍后，只有 start 和 end 指针同时向右移动一步，复杂度才增加 1。该解法相对于暴力搜索的优点是时间复杂度更低，相对于后续的解法也更加简单直观。

解法三：动态规划

对于该问题，我们也可以利用动态规划来求解。具体的，对于 arr 数组中以每个元素结尾的子数组，我们记录其中包含的 seq 子序列的最小长度。这个过程可以分解为以下两个小问题：

• 钦定 arr 数组中的当前元素，验证该元素是否能加入当前最小子数组（即以该元素结尾的子数组中包含了 seq 子序列）；
• 如果能加入，那么记录当前最小长度，同时需要更新以前续子数组的信息。

def find_min_subarray_dp(arr, seq):
    """
    动态规划解法，时间复杂度为 O(n^2)
    """
    if not seq:
        return 0
    if not arr:
        return -1
    
    s = [[float('+inf')]*(len(seq)+1) for i in range(len(arr)+1)]
    for i in range(0,len(arr)+1):
        s[i][0] = 0
    
    for i in range(1, len(arr)+1):
        for j in range(1, len(seq)+1):
            s[i][j] = s[i-1][j]+1
            if arr[i-1] == seq[j-1]:
                s[i][j] = min(s[i][j], s[i-1][j-1]+1)
    
    min_len = min(s[-1])
    return min_len if min_len != float('+inf') else -1

该解法时间复杂度是 O(n^2)，空间复杂度也是 O(n^2)。和滑动窗口的解法相比，这个解法在空间上的开销更大，但相比于暴力搜索，在复杂度上有明显优势。

综上所述，我们介绍了暴力搜索、滑动窗口、动态规划三种解法，其中滑动窗口的解法无疑是最优的，时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(k)，k 表示子序列的长度。在实际问题中，我们应该尽可能使用高效的解法，提高程序的性能。