从给定字符串S 构造长度为 K 的子序列的最小成本

在软件开发中，经常会遇到优化字符串操作的情况，这个题目就是一个经典的字符串问题。

问题描述

给定一个字符串S和一个整数K，求构造一个长度为K的子序列的最小成本。

定义成本为字符在S中的位置。

例如， 对于字符串S="abccba"和K=4，可以构造的子序列有"abca"、"abcb"、"abcc"、"abba"、"abbb"、"abbc"、"acca"、"accb"、"accc"、"bacb"、"bacc"、"bbcc"等，每一个子序列的成本分别为1+2+3+6、1+2+3+5、1+2+3+4、1+2+6+7、1+2+5+6、1+2+4+5、1+3+4+6、1+3+4+5、1+3+4+4、2+3+5+6、2+3+4+6、2+4+5+6，所以最小成本为7。

解法

这个问题可以使用动态规划来解决。

定义 dp[i][j] 表示字符串 S 中前 i 个字符构成的子序列，长度为 j 时的最小成本。

那么状态转移方程就是:

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + S[i-1] - 'a' + 1)

其中， dp[i-1][j] 表示不选择当前字符，直接继承前面的最小成本。dp[i-1][j-1] + S[i-1] - 'a' + 1 表示选择当前字符，花费当前字符的位置加上前面的最小成本。

最终的答案是 dp[n][k]，其中 n 是字符串 S 的长度。

代码实现

以下是代码片段的示例实现:

def min_cost(S, k):
    n = len(S)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]

    # 初始化
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = float('inf')
    for j in range(1, k+1):
        dp[j][j] = sum(range(1, j+1))

    # 动态规划
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + ord(S[i-1]) - ord('a') + 1)

    return dp[n][k]

以上是Python实现代码，使用二维数组存储状态。时间复杂度为 $O(nk)$，空间复杂度为 $O(nk)$。

总结

该问题是动态规划中非常经典的一道题目，也是优化字符串操作的实际问题。主要难点在于状态定义和状态转移方程的推导，推导好之后，代码的实现就比较简单了。