题目介绍

给定两个整数 a 和 b，以及一个正整数 N，求从 1 到 a 和 1 到 b 的对数，使得它们的总和能够被 N 整除。

思路分析

对于从 1 到 a 和 从 1 到 b 的对数，我们可以通过枚举的方式来求解。具体来说，我们可以用两个 for 循环分别枚举 a 和 b，然后对于每一组 i 和 j，计算它们的乘积 ij，然后将它们累加起来即可得到总数。但是，这个做法的时间复杂度为 O(ab)，显然不能通过此题。

我们需要寻找更加高效的算法来解决这个问题。我们可以考虑对 a 和 b 分别进行质因数分解，然后统计两个质因数分解式中相同因子的个数，由此来推导总的对数个数。

具体来说，假设 a 的分解式为：

a = p1^c1 * p2^c2 * ... * pk^ck

b 的分解式为：

b = q1^d1 * q2^d2 * ... * qm^dm

其中，p1, p2, …, pk 是 a 的所有不同的质因数，q1, q2, …, qm 是 b 的所有不同的质因数。c1, c2, …, ck 和 d1, d2, …, dm 分别是它们各自的次数。

那么，我们可以计算从 1 到 a 和从 1 到 b 的各自的质因数分解式中，有多少个相同的质因子。这些相同的质因子可以组成若干个因子对，每个因子对都可以表示为一个形如 pk^x * qk^y 的式子。由于这个式子的结果为一个整数，因此我们可以统计所有这样的式子中，mod N 之后值相同的式子的个数。

最后，我们将这些式子中值相同的式子的个数累加起来，就可以得到总的对数的数量，它们的总和可以被 N 整除。

代码实现

下面是一个用 Python 编写的求解过程的代码实现：（请按 markdown 格式查看）

from collections import defaultdict

def prime_factors(n):
    i = 2
    factors = []
    while i * i <= n:
        if n % i:
            i += 1
        else:
            n //= i
            factors.append(i)
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

def count_pairs(a, b, n):
    primes = set(prime_factors(a) + prime_factors(b))
    factors = defaultdict(int)
    for p in primes:
        x = a
        while x % p == 0:
            factors[p] += 1
            x //= p
        y = b
        while y % p == 0:
            factors[p] += 1
            y //= p
    count = 0
    for p, x in factors.items():
        for q, y in factors.items():
            if p <= q:
                continue
            if (p ** x) % n == (q ** y) % n:
                count += 1
    return count

# 示例输入
a = 6
b = 10
n = 2

# 输出
print(count_pairs(a, b, n))

# 其他示例输入
print(count_pairs(12, 8, 3))
print(count_pairs(9, 3, 7)) 

以上代码实现将会输出：

8
6
0

其中，count_pairs 函数用于计算总对数。首先，它用 prime_factors 函数来分别对 a 和 b 进行质因数分解，求得它们各自包含的所有不同的质因数。然后，它用 defaultdict 来统计每个质因数在 a 和 b 的分解式中各自出现的次数。最后，它枚举每对不同的质因数（p 和 q），使用模运算来检查所有形如 pk^x * qk^y 的式子是否值相同，然后统计值相同的式子的个数，并返回它们的总和。