题目介绍

给定整数 $N$ 和 $K$，请生成一个包含 $K$ 个元素的数组 $a$，使得元素之和为 $N$ 并且满足条件 $a[i] < a[i+1] \leq 2 \times a[i]$，其中 $1 \leq K \leq N \leq 10^9$。

解题思路

要满足条件 $a[i] < a[i+1] \leq 2 \times a[i]$，我们可以先把数组按照升序排列，然后依次填充数组元素：

1. 将 $N$ 平均分成 $K$ 份，得到 $avg = N / K$。
2. 对于前 $K - 1$ 个元素，每个元素随机生成一个 $[i \times avg, \min(2 \times i \times avg, N - (K - i))]$ 之间的整数，其中 $1 \leq i \leq K - 1$。这样可以保证第 $i$ 个元素不会超过它后面的元素的两倍，并且总和为 $N$。
3. 最后一个元素的值为 $N$ 减去前面元素的和，即 $a_K = N - \sum_{i=1}^{K-1}{a_i}$。

需要注意的是，对于前 $K-1$ 个元素的随机生成，我们要保证 $a_i < a_{i+1}$，否则交换它们的值即可。

代码实现

import random

def generate_array(N, K):
  # 计算平均值
  avg = N // K
  # 初始化前 K-1 个元素
  a = [0] * K
  for i in range(K - 1):
    # 随机生成范围内的整数
    a[i] = random.randint(i * avg, min((i + 1) * 2 * avg, N - (K - i)))
    # 保证满足条件 a[i] < a[i+1] <= 2*a[i]
    while i > 0 and a[i] <= a[i - 1]:
      a[i], a[i - 1] = a[i - 1], a[i]
      i -= 1
  # 最后一个元素为剩余值
  a[K - 1] = N - sum(a)
  return a

测试样例

使用上述代码生成 $10$ 个样例：

for i in range(10):
  a = generate_array(1000000, 10)
  assert len(a) == 10
  assert sum(a) == 1000000
  for j in range(9):
    assert a[j] < a[j + 1] <= 2 * a[j]
print("All test cases passed.")