给定点可能的四边形数量

在计算机科学中，一个常见的问题是给定一组点，求可以构成的四边形数量。这个问题涉及到了计算几何和组合数学两个领域，通常需要采用多种算法才能解决。

Brute Force 算法

最朴素的方法是枚举所有可能的四边形，然后判断每一个四边形是否由给定的点构成。假设有 $n$ 个点，那么一共需要枚举 $\binom{n}{4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ 组点。对于每组点，需要判断它们是否可以构成一个四边形，这可以使用求两点之间距离的公式来完成。如果所有点都互不相同，那么Brute Force 算法的时间复杂度是 $O(n^4)$，空间复杂度是 $O(1)$。

def brute_force(points):
    cnt = 0
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            for k in range(j+1, len(points)):
                for l in range(k+1, len(points)):
                    if is_quadrilateral(points[i], points[j], points[k], points[l]):
                        cnt += 1
    return cnt

其中，is_quadrilateral 函数用于判断给定的四个点是否可以构成一个四边形。

def is_quadrilateral(p1, p2, p3, p4):
    distances = set()
    distances.add(distance(p1, p2))
    distances.add(distance(p1, p3))
    distances.add(distance(p1, p4))
    distances.add(distance(p2, p3))
    distances.add(distance(p2, p4))
    distances.add(distance(p3, p4))
    return len(distances) == 2

其中，distance 函数用于计算两个点之间的距离。

排序算法

另一种常见的方法是先对给定点按照 x 或者 y 坐标进行排序，然后依次枚举每对点，作为四边形的某一个顶点，然后再去寻找另一个对角线上的点。这种方法的时间复杂度是 $O(n^3 \log n)$，空间复杂度是$O(1)$。

def sort_points(points):
    sorted_by_x = sorted(points, key=lambda p: p[0])
    sorted_by_y = sorted(points, key=lambda p: p[1])
    return (sorted_by_x, sorted_by_y)

def sort_algorithm(points):
    cnt = 0
    sorted_by_x, sorted_by_y = sort_points(points)
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            for k in range(j+1, len(points)):
                if sorted_by_x.index(points[i]) < sorted_by_x.index(points[j]) < sorted_by_x.index(points[k]):
                    for l in range(k+1, len(points)):
                        if sorted_by_y.index(points[j]) < sorted_by_y.index(points[l]) < sorted_by_y.index(points[k]):
                            if is_quadrilateral(points[i], points[j], points[k], points[l]):
                                cnt += 1
    return cnt

扫描线算法

最优秀的算法是基于扫描线的算法。这个算法不需要对点进行排序，也不需要枚举所有的四边形。它根据给定的点，先构造出所有可能的边，然后对所有的梯形，计算它们可能组成的四边形数量。这种方法的时间复杂度是 $O(n^2 \log n)$，空间复杂度是 $O(n^2)$。

def scan_line_algorithm(points):
    edges = set()
    counter = defaultdict(int)
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            edges.add((points[i], points[j]))
    for edge1 in edges:
        for edge2 in edges:
            if edge1 == edge2:
                continue
            if edge1[0] == edge2[0]:
                counter[(edge1[1], edge2[1])] += 1
            elif edge1[0] == edge2[1]:
                counter[(edge1[1], edge2[0])] += 1
            elif edge1[1] == edge2[0]:
                counter[(edge1[0], edge2[1])] += 1
            elif edge1[1] == edge2[1]:
                counter[(edge1[0], edge2[0])] += 1
    cnt = 0
    for quadrilateral in counter.values():
        cnt += (quadrilateral*(quadrilateral-1))/2
    return cnt

总结

给定点可能的四边形数量这个问题涉及到了多种算法和数学。尽管Brute Force算法非常朴素，但是它的时间复杂度和空间复杂度都很高，因此不适合处理大规模的数据。相比之下，排序算法和扫描线算法的时间复杂度都比较低，而扫描线算法的优点在于它不需要对点进行排序，因此更容易处理更为复杂的数据。