最小围圈套装

最小围圈套装（Minimum Enclosing Circle，MEC）是指在给定的一组点中，找到一个圆，使得这个点集中的所有点都在这个圆中或者圆周上，并且该圆是所有可行圆中最小的一个。

MEC是一个广泛应用的算法问题，主要应用于计算几何、计算机图象处理、机器视觉等领域。下面我们将介绍MEC的相关算法，以及具体的实现。

算法介绍

算法1：空间分治法

首先将一组点划分成多个小组，然后在每个小组内分别计算最小围圈，最后将这些最小围圈合并成一个整体的最小围圈。算法步骤如下：

1. 将点集按照x坐标进行排序
2. 划分点集为两个子集
3. 对子集进行MEC计算
4. 对两个MEC进行合并，得到整个集合的MEC

两个围圈合并的具体实现，可以通过比较圆心到两个圆任意一个点的距离，选择距离更远的点，进而求出新的圆心和半径。

在实际应用中，当点集数量越来越大时，计算整个点集的MEC将会变得相当耗时。因此，我们需要使用空间分治法来缩小计算规模，提高算法效率。

算法2：期望O(n)的随机增量法

该算法通过随机选取一些点进行增量计算，来逐步逼近整体的MEC。具体实现方法如下：

1. 随机选择一个点作为当前最小围圈的唯一点。
2. 遍历其他点，若该点未被包含在当前最小围圈中，则将其加入围圈。
3. 若新点导致当前围圈变大，则选择距离最远的点，从围圈中移除该点，并将新点加入围圈。

重复执行以上步骤，直到所有点都被包含在最小围圈中。

该算法的时间复杂度为O(n)，但是实现上需要依赖随机数生成器，同时最终结果并不一定是最优解。

实现

我们可以使用Python语言实现以上两种算法。下面列出部分代码片段，仅作参考。

算法1：

def mec(points: List[Tuple[float, float]]) -> Tuple[Tuple[float, float], float]:
    # 划分点集
    middle_idx = len(points) // 2
    left_half, right_half = points[:middle_idx], points[middle_idx:]
    
    # 递归计算两个子集的MEC
    left_center, left_radius = mec(left_half)
    right_center, right_radius = mec(right_half)
    
    # 合并两个MEC
    center, radius = combine(left_half, right_half, left_center, left_radius, right_center, right_radius)
    return center, radius

算法2:

def mec(points: List[Tuple[float, float]]) -> Tuple[Tuple[float, float], float]:
    # 初始化最小围圈
    circle_center, circle_radius = None, -1
    shuffle(points)

    # 逐步加入点
    for idx, point in enumerate(points):
        if is_inside_circle(circle_center, point, circle_radius):
            continue  # 点已经被包含
        circle_center = point
        circle_radius = 0
        for jdx in range(idx):
            if not is_inside_circle(circle_center, points[jdx], circle_radius):
                # 新点导致围圈变大
                circle_center = mid_point(circle_center, points[jdx])
                circle_radius = distance(circle_center, points[jdx])
                for kdx in range(jdx):
                    if not is_inside_circle(circle_center, points[kdx], circle_radius):
                        # 移除不在新围圈内的点
                        circle_center, circle_radius = mec_with_two_points(points[jdx], points[kdx])
    return circle_center, circle_radius

总结

本文介绍了两种MEC计算算法，空间分治和随机增量。在实际应用中，可以根据数据量、计算时间等条件，选择合适的算法进行实现。