将n写为两个或多个正整数之和的方法

将一个正整数n写为两个或多个正整数之和，也就是将n划分为若干正整数的和的形式，是组合数学中一个基本问题。在计算机科学领域，类似的问题有很多应用，比如动态规划、组合优化、密码学等。

思路

对于一个正整数n，其划分方法数被称为它的划分数，常用符号为P(n)。计算划分数是一个复杂的问题，可以使用递归、动态规划、数学公式等方法。下面介绍几种常用的划分方法。

递归方法

若将n划分成k个数的和，则其划分方法数可以表示为：

P_k(n) = \sum_{i=1}^{n} P_{k-1}(n-i)

其中P_1(n)表示将n划分为1个数的划分方法数，显然其为1。

这个公式的含义是：将原问题分解为k-1个子问题，每个子问题的划分数为P_{k-1}(n-i)，其中i是最后一部分的大小。

递归方法的实现非常简单，但是其计算时间随着n和k的增大而呈指数级增长，因此只适用于小规模的问题。

动态规划方法

动态规划方法基于递归方法，使用一个二维数组P来存储P(n,k)的值。具体地，有：

def partition(n: int, k: int) -> int:
    P = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(k+1)]
    for i in range(n+1):
        P[1][i] = 1
    for i in range(2, k+1):
        for j in range(n+1):
            for l in range(j+1):
                P[i][j] += P[i-1][j-l]
    return P[k][n]

该算法的时间复杂度为O(n^2 * k)，比递归方法要快很多。但是对于较大的n和k，仍然会超时或超空间。

数学方法

套用数学公式可以得到划分数的数学表达式：

P(n) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \cdot [ P(n - \frac{k(3k-1)}{2}) + P(n - \frac{k(3k+1)}{2}) ]

这个公式比递归和动态规划都要快很多，但是实现起来有一定的难度。需要注意的是，该公式中的P(n)都要事先计算，并存储在一个数组中。

结论

本文介绍了三种将正整数n划分为若干正整数之和的常用方法：递归、动态规划和数学方法。这些方法各有优缺点，应根据具体问题的规模和要求选择合适的方法。