查询以从数组的任一端查找数组元素的最小总和

这个问题的细节可以根据具体的情况而异，但在本文中，我们将考虑以下情况：给定一个包含 n 个整数的数组 a，找出一个连续的子数组，它的和最小。

我们可以使用两种方法来解决此问题：暴力法和动态规划。

暴力法

最暴力的方法是，对于每个子串，计算它的和并找到最小的和。显然，这种方法非常低效，因为它需要计算 $n^2$ 个子串并找到一个最小和。因此，算法复杂度为 $O(n^3)$。

def min_subarray_sum(arr):
    n = len(arr)
    min_sum = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            sub_arr = arr[i:j+1]
            sub_sum = sum(sub_arr)
            if sub_sum < min_sum:
                min_sum = sub_sum
    return min_sum

动态规划

现在我们考虑使用动态规划来解决此问题。定义一个状态 $f(i)$，表示以第 $i$ 个元素结尾的连续子数组的最小和。那么，$f(i)$ 可以表示为：

$$f(i) = \min(f(i-1)+a_i, a_i)$$

表示以 $i$ 结尾的子串可能由两部分组成：以 $i-1$ 结尾的子串和 $a_i$。如果前一部分为负，则可以放弃前一部分。

def min_subarray_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [0] * n
    dp[0] = arr[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = min(dp[i-1]+arr[i], arr[i])
    return min(dp)

这个动态规划方法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何在给定数组中查找具有最小总和的连续子数组。我们介绍了暴力解法和动态规划解法。虽然暴力解法简单易懂，但它的运行时间复杂度是 $O(n^3)$，因此在处理大型数组时不实用。另一方面，动态规划方法具有 $O(n)$ 的时间复杂度和 $O(n)$ 的空间复杂度，因此更实用。