最小化 K 个子集中存在的最大和最小元素之间的差异总和

在某些情况下，我们需要将一组数字划分为 $k$ 个子集，并最小化这些子集中存在的最大和最小元素之间的差异总和。这种类型的问题可以通过一些优化算法来解决。

算法

一种有效的算法是使用二分搜索。给定一个最大的可能的答案，我们可以使用贪心算法来尝试分配数字到 $k$ 个子集中并计算差异总和。如果计算出来的差异总和小于预期值，则说明我们需要选择更小的最大可能答案。反之，我们需要选择更大的最大可能答案。

算法具体步骤

1. 对输入数组进行排序。
2. 在二分搜索范围内选择一个中间值。
3. 使用贪心算法将数字分配到 $k$ 个子集中。
4. 如果子集的差异总和小于预期值，则选取更小的最大可能答案。
5. 如果子集的差异总和大于预期值，则选取更大的最大可能答案。
6. 重复步骤 2 至 5 直到找到最优答案。

其中，贪心算法的具体步骤如下：

1. 创建 $k$ 个空集合。
2. 遍历排序后的输入数组中的每个元素，对于每个元素，选择集合中当前元素最小的一个，并将其加入该集合。
3. 计算每个集合中最大值和最小值之间的差异，然后将这些差异相加以得到差异总和。

代码实现

以下是用 Python 实现的算法代码：

def min_diff(arr, k):
    arr.sort()
    low, high = 0, arr[-1] - arr[0]
    while low < high:
        mid = (low + high) // 2
        subsets = [arr[0]]
        for i in range(1, len(arr)):
            if arr[i] - subsets[-1] > mid:
                if len(subsets) == k:
                    break
                subsets.append(arr[i])
        if len(subsets) == k:
            low = mid + 1
        else:
            high = mid
    return low

性能

此算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是输入数组的大小。空间复杂度为 $O(n)$。虽然该算法的时间复杂度相对较高，但这是一种非常实用的优化算法，用于解决某些重要问题。