最小化DFA

DFA（有限状态自动机）是一种用于识别正则表达式的自动机。通俗地说，DFA是一种可以自动处理输入并根据预定义的规则转移到其中一个描述符状态的计算机。最小化DFA是在保留DFA的等效性的前提下减少其状态数的过程。本文将介绍如何最小化一个给定的DFA。

确定有限状态自动机（DFA）简介

DFA是一种能够接受某个正则表达式生成的字符串的自动机。它由以下五个元素组成：

• 一个非空有限状态集合Q；
• 一个非空有限的输入字母表Σ；
• 一种从Q×Σ到Q的状态转换函数；
• 一个该自动机的起始状态q0∈Q；
• 一个包含所有接受状态的子集F∈Q。

DFA的工作流程是：从起始状态开始，自动地根据输入字符串逐字符向前扫描并且按照状态转换函数的规则进行状态转移，直至扫描完整个输入字符串并到达某个接受状态。如果最终停止状态是接受状态，那么该字符串就被该自动机接受。

下图是一个DFA的示例，可以接受二进制字符串“110”和“111”：

最小化DFA的算法

对于一个给定的DFA，最小化DFA的过程是将该DFA转换为一个等效的包含最少状态数的DFA。最小化DFA的算法通常使用Hopcroft-Karp算法或Moore算法。本文将使用Moore算法介绍如何最小化DFA。

Moore算法的步骤

该算法的步骤如下：

1. 给定一个DFA以及它的状态集合Q；
2. 根据状态的等效性将状态Q分成两个集合P和Q-P；
3. 将P集合中的状态合并为一个状态p；
4. 对新分出的状态p进行非空划分得到各状态的等价类C1, ..., Ck，其中C1={p}；
5. 用Ci中的每个状态代替DFA中相同的状态；
6. 重复2~5直到没有状态集合发生变化。

Python程序实现

下面是Python程序实现。

def minimize_dfa(dfa):
    """
    最小化DFA
    :param dfa: 给定的DFA
    :return: 最小化后的DFA
    """
    p = {dfa.final_states, dfa.all_states - dfa.final_states}
    w = [dfa.final_states]
    while len(w) > 0:
        a = w.pop()
        for c in dfa.alphabet:
            x = dfa.get_goto(a, c).intersection(p)
            if len(x) < 2:
                continue
            x0 = x.pop()
            for y in x:
                if len(x ^ y) == 0:
                    continue
                for z in p.copy():
                    if len(x ^ y & z) == 0:
                        p.remove(z)
                        p.add(x ^ y)
                        w.append(x ^ y)
                        for c1 in dfa.alphabet:
                            p1 = dfa.get_goto(z, c1)
                            if len(p1 & p) == 0:
                                continue
                            found = False
                            for z1 in p:
                                if p1.issubset(z1):
                                    found = True
                                    dfa.set_goto(z, c1, z1)
                                    break
                            if not found:
                                raise RuntimeError
                        break
    dfa.set_states(p)
    return dfa

总结

DFA是一种用于识别正则表达式的自动机，它由五个元素组成，符合某些规则的输入会被自动识别。最小化DFA的目的是通过合并一些状态来缩减DFA的状态数。最小化DFA的算法包括Hopcroft-Karp算法和Moore算法，我们介绍了Moore算法的实现过程。