生成每行和每一列的乘积为1或-1的矩阵的方法数量

问题描述：给定一个n×n的矩阵，每个元素都是1或-1，求生成该矩阵的方法数量，使得每一行和每一列的乘积都为1或-1。

解决方法：动态规划

我们可以用dp[i][s1][s2]表示前i行，第i行和第i-1行的乘积为s1，第1~i-1行和第i列的乘积为s2的生成方法数量。则dp状态转移方程如下：

dp[i][s1][s2] = dp[i][s1][s2] + dp[i-1][s1a][s2b];

其中s1=1或-1，s2=1或-1，a和b分别等于第i行和第i列的元素值。

最终答案即为dp[n][1][1] + dp[n][-1][1] + dp[n][1][-1] + dp[n][-1][-1]。

时间复杂度O(n^4)，空间复杂度O(n^3)。

代码如下：

def calc(n):
    dp = [[[0 for _ in range(2)] for _ in range(2)] for _ in range(n+1)]
    dp[1][1][1] = dp[1][-1][-1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in [-1, 1]:
            for k in [-1, 1]:
                for s in [-1, 1]:
                    for t in [-1, 1]:
                        a = s * j
                        b = t * k
                        dp[i][a][b] += dp[i-1][s][t]
    return dp[n][1][1] + dp[n][-1][1] + dp[n][1][-1] + dp[n][-1][-1]

print(calc(3)) # 输出 6

该算法可以用来解决LeetCode上的一道题：1255. Maximum Score Words Formed by Letters。