求数组中乘积为2的幂的对的数量

在编程中我们经常需要找到特定的对，本文介绍了如何找到一个数组中乘积为2的幂的对的数量。这个问题被称为“Count Pairs with Product of two numbers as a Power of Two” 。

问题描述

给定一个整数数组 nums 。求出有多少对 (i, j) 满足 i < j 且 nums[i] * nums[j] 是 2 的幂次方。

解决方案

我们把数组中的每个元素分解为质因数的乘积，例如：8 = 2 * 2 * 2， 12 = 2 * 2 * 3。 若两个数的乘积为 2 的幂次方，那么它们的质因数分解中必定包含唯一一个质因数 2 ，且次数相加等于 2 的幂次方数。因此，我们将每个元素的质因数分解后，对每个质因数 2，记录下其次数。对于遍历到的每个元素，我们尝试找到另一个元素，使得它们的质因数 2 的次数之和等于 2 的幂次方数。我们用哈希表来记录已经看到的 2 的次数之和，这样我们就可以在 O(1) 的时间内查询到之前出现的这个 2 的次数之和的个数。

以下是解决方案的 Python 代码片段：

from collections import defaultdict

class Solution:
    def countPairs(self, nums: List[int]) -> int:
        power2 = [1]
        for i in range(31):
            power2.append(power2[-1] * 2)

        count = defaultdict(int)

        res = 0
        for num in nums:
            for i in range(32):
                if num <= power2[i]:
                    break
                res += count[power2[i] - num]
            count[num] += 1

        return res

性能分析

本算法的时间复杂度为 O(NlogW)，其中 W 是题目给出的数据范围，因为一个数的质因数分解中质因数最多有 log W 个。

本算法的空间复杂度为 O(N)，需要开一个哈希表记录 2 的次数之和。

结论

在该算法中，我们使用哈希表记录 2 的次数之和，这种方法也可以应用于其他涉及除法的问题中。在实际编程中不要忘记开一个哈希表啊。