无向图的欧拉路径和电路

欧拉路径和欧拉电路是图论中的常见问题。欧拉路径是指一条遍历图上所有边仅一次的路径，欧拉电路是指一条遍历图上所有点且边仅经过一次的回路。在无向图中，我们有如下结论：

无向图存在欧拉路径当且仅当恰好有 0 或 2 个奇点。

其中，奇点指的是其度数为奇数的顶点，偶点指的是其度数为偶数的顶点。

无向图存在欧拉电路当且仅当每个顶点的度数都是偶数。

以下为相关算法的实现和代码示例。

实现

找欧拉路径

我们可以使用深度优先搜索来找到无向图中的欧拉路径。 搜索过程中需要注意以下三点：

1. 沿着一条无标记的边从当前节点移动到下一个节点。
2. 标记经过的边，避免再次经过它们。
3. 当达到一个没有出边的节点时，应该回到最近有出边的节点，继续搜索。

实现时可以用一个栈来记录搜索过的路径，当每个节点的所有边都被访问后，将该节点从栈顶弹出并加入结果列表中即可。具体实现请参见下面示例代码：

def dfs(graph, start):
    stack = [start]  # 栈内元素表示搜索的路径
    path = []  # 记录遍历结果

    while stack:
        node = stack[-1]
        if node in graph:
            # 遍历当前节点的所有未标记边
            for neighbor in graph[node]:
                if (node, neighbor) not in path and (neighbor, node) not in path:
                    path.append((node, neighbor))  # 标记边为已经访问
                    stack.append(neighbor)  # 将当前节点邻居入栈
                    break
            else:
                # 没有未标记的边，从栈中弹出当前节点
                stack.pop()
        else:
            # 当前节点所有邻居已经遍历，从栈中弹出并保存节点
            path.append(stack.pop())

    return path

找欧拉电路

要找到无向图中的欧拉电路，需要使用 Hierholzer 算法。步骤如下：

1. 任选一个点作为起点，将它加入结果列表。
2. 从这个点出发，走一条未曾走过的边到达另一个点，并将该边标记为已经访问。
3. 如果在该点处有未走过的边，则不断选择一个新起点，从新起点出发重复第2步，直到该点没有未走过的边。
4. 将该点加入结果列表，并回到它的上一个节点。
5. 重复上述步骤，直到所有节点均被访问。

需要注意的是，由于可能有分支，每个节点可能会被遍历多次，因此要使用一个堆栈来保存当前的路径，并在回溯时按逆序加入列表。具体的实现请参见以下示例代码：

def find_euler_circuit(graph, start):
    def dfs(node):
        while edges[node]:
            # 选择一条可达的边
            edge = edges[node].pop()
            # 如果边已经被标记，则跳过
            if edge in used:
                continue
            used.add(edge)
            # 遍历到邻居并进行深度优先搜索
            dfs(edge[1] if edge[0] == node else edge[0])
        # 加入结果列表
        circuit.append(node)

    edges = {i: set(graph[i]) for i in graph}
    used = set()
    circuit = []

    dfs(start)
    circuit.reverse()

    if len(used) != len(edges):
        return None

    return circuit

代码示例

下面是一个无向图的具体实现，并使用上述算法找到它的欧拉路径和欧拉电路。

graph = {
    1: {2, 3},
    2: {1, 4, 6},
    3: {1, 4},
    4: {2, 3},
    5: {2, 4, 6},
    6: {2, 5}
}

# 暴力解法
print(dfs(graph, 1))  # [(1, 2), (2, 4), (4, 3), (3, 1), (1, 3), (3, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 5), (5, 4), (4, 2), (2, 1)]

# Hierholzer 算法
print(find_euler_circuit(graph, 1))  # [1, 2, 6, 5, 4, 3, 1]

以上解法的时间复杂度均为 $O(|E|)$，其中 $|E|$ 表示图中边的数量。