题目介绍

给定一个字符串，添加最少的字符使其成为回文字符串，然后返回添加的字符数。

例如，如果给定的字符串是 "abcd"，所需的最小插入操作是 "dcba"，因此需要添加 3 个字符。

解题思路

我们可以使用动态规划的思路来解决这个问题。

假设我们有字符串 $s$ ，我们可以使用以下方法来插入字符以形成回文字符串：

• 在 $s$ 的开头或结尾处插入一个字符（即添加到左侧或右侧）
• 如果第一个和最后一个字符相同，则它们已经匹配，并且我们可以递归地处理剩余的子字符串 $s [1：n-1]$。

因此，我们可以将原问题转换为子问题，并考虑如何使用子问题的解来求解原问题。

假设 $dp[i][j]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的子字符串所需的最小插入次数。如果 $s[i]$ 与 $s[j]$ 匹配，则不需要插入任何字符并将问题转化为子问题 $dp[i+1][j-1]$。如果 $s[i]$ 与 $s[j]$ 不匹配，则它们两个必须添加到字符串中，并且我们需要递归地解决子问题 $dp[i+1][j]$ 和 $dp[i][j-1]$。在这两种情况下，我们最终需要选择插入最少数量的字符。

因为我们需要访问 $dp[i+1][j-1]$、$dp[i+1][j]$、$dp[i][j-1]$，因此我们可以使用bottom-up方法，先计算小的子问题，然后利用它们来计算大问题。

在该算法的实现中，我们可以使用二维动态数组 $dp$ 来保存子问题的解，并填充数组以计算 $dp[0][n-1]$，其中 $n$ 是字符串的长度。

代码实现

def min_insertions(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 先枚举子串长度 l
    for l in range(2, n + 1):
        # 枚举子串起始位置 i
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1

    return dp[0][n - 1]

总结

这道题目是一道典型的动态规划问题，需要我们将原问题转化为子问题并使用bottom-up的方法来解决。在本题的实现中，我们使用二维数组来保存子问题的解，并使用双指针的方式枚举子串的长度和起始位置，最终计算出 $dp[0][n-1]$ 即为答案。

（完）