统计 - Black-Scholes模型

介绍

Black-Scholes模型是用于估计欧式期权价格的数学模型，由Fischer Black和Myron Scholes在20世纪70年代初提出。该模型基于几个假设条件，如股票价格服从对数正态分布、无风险利率不变等。

Black-Scholes模型在金融领域应用广泛，被用于计算股票、期货、货币等的期权价格和隐含波动率。该模型也是金融工程领域的基础模型之一。

假设条件

Black-Scholes模型基于以下假设条件：

• 股票价格服从对数正态分布：股票价格变化符合正态分布，但股票价值自身不是正态分布，而是对数正态分布。
• 无风险利率不变：期权持有期内无风险资产应该有相同的收益率，这个收益率称为无风险利率。
• 没有交易费用和税收：假设在期权持有期内没有交易费用和税收产生。
• 没有套利机会：假定期权价格的变化可以预见，而且不存在任何可以获得无风险收益的套利机会。

公式

Black-Scholes模型的公式为：

$C = S \cdot N(d_1) - X \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)$

$P = X \cdot e^{-rT} \cdot N(-d_2) - S \cdot N(-d_1)$

其中，

• C是欧式看涨期权价格；
• P是欧式看跌期权价格；
• S是股票当前的价格；
• X是执行价格；
• r是无风险利率；
• T是距离到期日的时间（单位以年计算）；
• N是标准正态分布的累积分布函数；
• $d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S}{X}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$
• $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$

代码片段

以下是使用Python实现Black-Scholes模型的代码片段：

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black_scholes(S, X, r, T, sigma, option='call'):
    d1 = (np.log(S/X) + (r + sigma**2 / 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if option == 'call':
        return S * norm.cdf(d1) - X * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    elif option == 'put':
        return X * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
    else:
        return None

这个代码片段定义了一个可以计算欧式看涨/看跌期权的Black-Scholes函数。函数的参数包括股票当前价格（S）、执行价格（X）、无风险利率（r）、距离到期日的时间（T）、波动率（sigma）和期权类型（call/put）。函数返回期权价格。