门 | GATE-CS-2005 |第 73 题

这道题目来自于计算机科学门类的GATE考试，是一道关于图论的应用题。本题的难度比较高，对于有一定算法基础的程序员来说较为适合。

题目背景

题目涉及的背景是图论中的最短路径问题。在图论中，最短路径问题是指在给定图中，找到两个节点之间最短的路径。在实际生活中，最短路径问题有很多应用，如路线规划和电路布线等。

题目描述

本题的题目描述如下：

给定一个含n个节点的有向无环图，每个节点都有一个点权（正整数），表示该节点能够产生的价值。同时，每个节点可能有多个出度，每个出度还可以选择是否经过（费用为0）。假设你从节点1开始出发，到达节点n时，能够得到的总权值就是所经过路径上所有节点的点权之和。请设计一种算法，使你能够得到从节点1到节点n的最大总权值。

例如，考虑以下图：

这是一个含有6个节点的有向无环图，其中矩形框内的数字表示节点的点权。假如从节点1出发，到达节点6时，应该怎样选择每个节点的出度，才能够得到最大的总权值？

解题思路

本题可以使用动态规划（DP）来解决，主要思路如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示从节点1到节点i的最大总权值。
2. 状态转移方程：对于每个节点i，可以考虑从哪些节点j能够到达该节点i，并选择这些节点中dp[j]最大的一个，再加上节点i本身的点权，就是从节点1到节点i的最大总权值。

据此可得出状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + w[i])

其中，w[i]表示节点i本身的点权，max(dp[j] + w[i])表示从所有能够到达节点i的节点j中，选择最大的一个dp[j]，再加上节点i本身的点权。

3. 状态初始化：将dp[1]初始化为节点1本身的点权，即dp[1]=w[1]。

4. 最终解：最终解为dp[n]。

综上所述，可参考以下伪代码解题：

dp[1] = w[1]
for i in range(2, n+1):
    dp[i] = w[i]
    for j in range(1, i):
        if exists_edge(j, i):
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + w[i])
return dp[n]

具体来说，for循环中的exists_edge(j, i)用于判断从节点j是否存在一条边可以到达节点i。

总结

本题考察了程序员对图论和动态规划算法的掌握程度，解决此题需要熟练掌握动态规划中的状态定义、状态转移和状态初始化等基本思想，并且需要结合具体环境，灵活运用算法。

对于程序员来说，解决这类算法题是提高代码能力的重要途径，应该积极参加各类编程比赛和练习，不断锤炼自己的算法思维。