从两个给定的顶点中找到正方形的剩余顶点

在计算机科学中，为了实现可靠和高效的程序，有许多算法和数据结构，其中一个非常有用的算法就是在给定的两个顶点中寻找正方形的剩余顶点。这个问题广泛应用于计算机图形学、计算机视觉和计算机游戏等领域。

问题描述

我们有两个给定的顶点 $v_1$ 和 $v_2$，它们是一个正方形的两个对角顶点。现在要求我们找到这个正方形的另外两个顶点 $v_3$ 和 $v_4$。

我们可以利用向量运算来计算出两个顶点之间的距离和方向，然后再根据这些信息来计算出另外两个顶点的位置。

解法

假设我们用向量 $\vec{v_1v_2}$ 来表示正方形的一条对角线，那么根据向量的定义，我们可以计算出两个顶点之间的距离和方向：

$$ d = \left|\vec{v_1v_2}\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $$

$$ \vec{u} = \frac{\vec{v_1v_2}}{d} = \frac{(x_2-x_1, y_2-y_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}} $$

其中，$d$ 表示两个顶点之间的距离，$x_1, y_1$ 是 $v_1$ 的坐标，$x_2, y_2$ 是 $v_2$ 的坐标，$\vec{u}$ 是单位向量，它的长度为1，表示正方形的方向。

接下来，我们可以根据正方形的性质，计算出另外两个顶点的坐标。具体地，我们可以沿着 $\vec{v_1v_2}$ 的方向，分别将距离 $d$ 加上和减去正方形的边长 $l$，得到另外两个顶点：

$$ v_3 = v_1 + l\vec{u} + l\vec{u}^\perp $$

$$ v_4 = v_2 - l\vec{u} - l\vec{u}^\perp $$

其中 $\vec{u}^\perp$ 是 $\vec{u}$ 的法向量，它的长度也为1。

下面的 Python 代码演示了如何实现这个算法：

import math

def find_remaining_vertices(v1, v2, side_length):
    dx = v2[0] - v1[0]
    dy = v2[1] - v1[1]
    d = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2)
    u = (dx / d, dy / d)
    u_perp = (-u[1], u[0])
    v3 = (v1[0] + side_length * u[0] + side_length * u_perp[0], v1[1] + side_length * u[1] + side_length * u_perp[1])
    v4 = (v2[0] - side_length * u[0] - side_length * u_perp[0], v2[1] - side_length * u[1] - side_length * u_perp[1])
    return v3, v4

这个函数接受三个参数：$v_1$ 和 $v_2$ 分别是两个顶点的坐标，$side_length$ 是正方形的边长。它返回一个元组，包含剩余的两个顶点的坐标。

总结

在许多计算机科学领域，寻找正方形的另外两个顶点是一个常见的问题。本文介绍了一种基于向量运算的解法，在 Python 中实现。这个解法的主要思想是计算出两个顶点之间的距离和方向，然后根据正方形的性质计算出另外两个顶点的坐标。这个算法非常高效和可靠，可以广泛应用于计算机图形学、计算机视觉和计算机游戏等领域。