打印带有数字根号D的包含K位数字的数字

本题要求打印出所有包含K位数字，并且数字根号为D的数字。

数字根

数字根又称数根，是将一个非负整数的各个位数上的数字相加，得到的结果再相加，直到最后得到一个一位数。这个一位数就是该数的数字根。例如，数字88的数字根为8+8=16，1+6=7。

解题思路

首先，我们需要定义一个函数 digital_root 用来计算数字根：

def digital_root(n):
    return n if n < 10 else digital_root(sum(int(digit) for digit in str(n)))

接着，我们使用嵌套循环枚举所有的K位数字，并判断该数字的数字根是否为D：

def print_digits_with_digital_root(D, K):
    for n in range(10**(K-1), 10**K):
        if digital_root(n) == D:
            print(n)

注意，当K很大时，这个函数的运行时间会很长，因为它需要枚举所有的K位数字。因此，我们可以改进算法，只枚举数字根为D的数字，而不是所有的K位数字。

假设我们所求的数字共有L个位数，并且第i个位数为xi。则我们有：

$ x_1 + x_2 + ... + x_L = D $

而对于每个x，它的取值范围都在[0, 9]之间，因此我们可以通过DP来解决这个问题。对于一个长度为L的数字，设f(L, S)表示数字的前L位数字根之和为S的数字数量。则有：

$ f(L, S) = \sum_{k=0}^9 f(L-1, S-k) $

其中，k代表第L位数字的取值。初始状态为f(0, 0) = 1。

这样，我们就可以通过DP算法来求解所有数字根为D的K位数字了：

def print_digits_with_digital_root(D, K):
    # initialize DP table
    dp = [[0] * (D+1) for _ in range(K+1)]
    dp[0][0] = 1

    # DP
    for i in range(1, K+1):
        for j in range(D+1):
            for k in range(10):
                if j >= k:
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-k]

    # print all digits with digital root D
    for n in range(10**(K-1), 10**K):
        if dp[K][digital_root(n)] > 0:
            print(n)

总结

本题展示了如何使用数字根的性质来解决问题，并且介绍了DP算法的应用。该算法时间复杂度为O(DK)，可以在较短的时间内计算满足条件的K位数字。